【正文】 11章差錯控制編碼由表中規(guī)定可見，僅當(dāng)一位錯碼的位置在 a2 、 a a5或 a6時，校正子 S1為 1；否則 S1為零。 13第 11章差錯控制編碼p 如果希望用 r個監(jiān)督位構(gòu)造出 r個監(jiān)督關(guān)系式來指示 1位錯碼的 n種可能位置，則要求14第 11章差錯控制編碼p 例： 以分組碼 (n, k)中的（ 7,4）漢明碼為例 ， 用 S S2和 S3表示 3個監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，則 S S2和 S3的值與錯碼位置的對應(yīng)關(guān)系可以規(guī)定如下表所列：S1 S2 S3 錯碼位置 S1 S2 S3 錯碼位置001 a0 101 a4010 a1 110 a5100 a2 111 a6011 a3 000 無錯碼漢明碼的最小碼距 d0 = 3。u 漢明碼的構(gòu)造原理。在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的。216。p 例如，若碼長 n = 10，其中信息位 k = 5，監(jiān)督位 r = 5。u 恒比碼的主要優(yōu)點是簡單和適于用來傳輸電傳機或其他鍵盤設(shè)備產(chǎn)生的字母和符號。1 2 ? c1 c0為按列進(jìn)行第二次編碼所增加的監(jiān)督位，它們構(gòu)成了一監(jiān)督位行。在偶數(shù)監(jiān)督碼中，無論信息位多少，監(jiān)督位只有 1位，它使碼組中 “1”的數(shù)目為偶數(shù)，即滿足下式條件：式中 a0為監(jiān)督位，其他位為信息位。p 例如， “000”＝晴， “011”＝云， “101”＝陰， “110”＝雨，4個碼組之間，任意兩個的距離均為 2。 p 信息位和監(jiān)督位的關(guān)系：舉例如下信息位 監(jiān)督位晴 00 0云 01 1陰 10 1雨 11 04第 11章差錯控制編碼p 分組碼的一般結(jié)構(gòu)u 分組碼的符號： (n, k)p N － 碼組的總位數(shù)，又稱為碼組的長度（碼長），p k － 碼組中信息碼元的數(shù)目，p n – k ＝ r － 碼組中的監(jiān)督碼元數(shù)目，或稱監(jiān)督位數(shù)目。u 冗余度： 監(jiān)督碼元數(shù) (nk) 和信息碼元數(shù) k 之比。 u 不同的編碼方法，有不同的 檢錯 或 糾錯 能力。u 多余度 ：就是指增加的監(jiān)督碼元多少。u 理論上，差錯控制以降低信息傳輸速率為代價換取提高傳輸可靠性。 5第 11章差錯控制編碼u 分組碼的碼重和碼距p 碼重 ：把碼組中 “1”的個數(shù)目稱為碼組的重量，簡稱 碼重。p 最小碼距 ：把某種編碼中各個碼組之間距離的最小值稱為最小碼距 (d0)。這種編碼能夠檢測奇數(shù)個錯碼。9第 11章差錯控制編碼n 恒比碼u 在恒比碼中，每個碼組均含有相同數(shù)目的 “1”（和 “0”）。對于信源來的二進(jìn)制隨機數(shù)字序列，這種碼就不適合使用了。其編碼規(guī)則為：216。 例如，若信息位為 11001，則碼組為 1100111001；若信息位為 10001，則碼組為 1000101110。u 線性分組碼 ：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼 。p 在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位 a0，它和信息位 an1 … a1一起構(gòu)成一個代數(shù)式：在接收端解碼時，實際上就是在計算若 S = 0，就認(rèn)為無錯碼；若 S = 1，就認(rèn)為有錯碼。因此，這種碼能夠糾正 1個錯碼或檢測 2個錯碼。這就意味著 a2 、 a a5和 a6四個碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：同理， a a a5和 a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：以及 a0、 a a4 和 a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系16第 11章差錯控制編碼216。例如，若接收碼組為 0000011，按上述公式計算可得： S1 = 0， S2 = 1， S3 = 1。例如， HT是 H的轉(zhuǎn)置，即 HT的第一行為 H的第一列， HT的第二行為 H的第二列等等。 H矩陣的性質(zhì)： 1) H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù)目 r。我們將具有 [P Ir]形式的 H矩陣稱為 典型陣 。由典型生成矩陣得出的碼組 A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。此矩陣的 n個元素就是碼組中的 n個碼元，所以發(fā)送的碼組就是 A。 B – A = E 可以改寫成 B = A + E例如，若發(fā)送碼組 A = [1000111]，錯碼矩陣 E = [0000100]，則接收碼組 B = [1000011]。這樣的錯碼是不可檢測的。S和錯碼 E之間有確定的線性變換關(guān)系。這一性質(zhì)的證明很簡單。30第 11章差錯控制編碼l 循環(huán)碼n 循環(huán)碼原理u 循環(huán)性 ：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一個碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個碼組。因此我們并不關(guān)心 x的取值。一般說來，若一個整數(shù) m可以表示為式中， Q － 整數(shù)，則在模 n 運算下，有m ? p (模 n)即，在模 n 運算下，一個整數(shù) m等于它被 n 除得的余數(shù)。例如， x3被 (x3 + 1)除，得到余項 1。因為原已假定 T(x)是循環(huán)碼的一個碼組，所以 T? (x)也必為該碼中一個碼組。36第 11章差錯控制編碼u 循環(huán)碼的生成矩陣 Gp 在循環(huán)碼中，一個 (n, k)碼有 2k個不同的碼組。一旦確定了 g(x)，則整個 (n, k)循環(huán)碼就被確定了。不過，將它作線性變換，不難化成典型陣。因此，上式可以化成將 T(x)和 T?(x)表示式代入上式，經(jīng)過化簡后得到上式表明， 生成多項式 g(x)應(yīng)該是 (xn + 1)的一個因子 。不過，選用的生成多項式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。這一運算實際上是在信息碼后附加上 (n – k)個 “0”。 （ 2）用 g(x)除 xn k m(x)，得到商 Q(x)和余式 r(x)，即例如，若選定 g(x) = x4 + x2 + x + 1，則 上式相當(dāng)于44第 11章差錯控制編碼216。當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯誤時，接收碼組與發(fā)送碼組相同，即 R(x) = T(x)，故接收碼組 R(x)必定能被 g(x)整除；若碼組在傳輸中發(fā)生錯誤，則 R(x) ? T(x)， R(x)被 g(x)除時可能除不盡而有余項，即有因此，就以余項是否為零來判別接收碼組中有無錯碼。不可檢錯誤中的誤碼數(shù)必定超過了這種編碼的檢錯能力。 用生成多項式 g(x)除接收碼組 R(x)，得出余式 r(x)。 從 R(x)中減去 E(x)，便得到已經(jīng)糾正錯碼的原發(fā)送碼組T(x)。通常它更適用于前向糾錯，因為對于許多實際情況它的性能優(yōu)于分組碼，而且運算較簡單。一般說來，對于卷積碼， k 和 n 的值是比較小的整數(shù)。這里的編碼約束長度 nN等于 9。u 監(jiān)督矩陣 H現(xiàn)在仍從上面的實例開始分析。例如，第 4 ~ 6列比第 1 ~ 3列低 2行。H1 =nn – k(n – k)N56第 11章差錯控制編碼此例中碼的截短監(jiān)督矩陣可以寫成如下形式：式中— 2 階單位方陣； Pi — 1 ? 2階矩陣， i = 1, 2, 3； O2 — 2 階全零方陣。58第 11章差錯控制編碼u 生成矩陣 G上例中的輸出碼元序列可以寫成[ b1 d1 e1 b2 d2 e2 b3 d3 e3 b4 d4 e4 ? ? ? ] = [ b1 b1 b1 b2 b2 (b2 + b1) b3 (b3 + b1) (b3 + b2 + b1) b4 (b4 + b2) (b4 + b3 + b2) ? ? ? ]