【正文】 ? ? ss fTjfTj eefjfH ??? 22 121)( ?? ??延遲 Ts 理想 積分器 ＋ － 60 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 【 例 】 設信號的表示式為 試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形。由于 s(t)的波形對稱于 t = Ts / 2，所以反轉后，波形不變。 表面上看來， h(t)的形狀和信號 s(t)的形狀一樣。 【 解 】 上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。 k是一個任意常數(shù)，它與 r0的最大值無關；通常取 k ＝ 1。一般不希望在碼元結束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選 t0 = Ts。 02)(*)( ftjefkSfH ???53 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 匹配濾波器的沖激響應函數(shù)： 由上式可見，匹配濾波器的 沖激響應 h(t)就是信號s(t)的鏡像 s(t)，但在時間軸上（向右）平移了 t0。它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數(shù)因子外）。 將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令 則有 式中 ??? ????????? ? dxxfdxxfdxxfxf 2221221 )()()()()()( *21 xkfxf ?0221 )()(),()( ftjefSxffHxf ???0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHr ??? ??? ?????????????????? dffSE 2)(52 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 而且當 時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比 2E/n0。 ? 假設條件： ?接收濾波器的傳輸函數(shù)為 H(f)，沖激響應為 h(t)，濾波器輸入碼元 s(t)的持續(xù)時間為 Ts，信號和噪聲之和r(t)為 式中， s(t) － 信號碼元， n(t) － 高斯白噪聲； sTttntstr ???? 0),()()(49 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ?并設信號碼元 s(t)的頻譜密度函數(shù)為 S(f)，噪聲 n(t)的雙邊功率譜密度為 Pn(f) = n0/2， n0為噪聲單邊功率譜密度。當誤碼率等于 102 時，衰落使性能下降約 10 dB；當誤碼率等于 103 時，下降約 20 dB。這時的誤碼率等于 式中， － 接收碼元的統(tǒng)計平均能量。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機的結構和隨相信號最佳接收機的一樣。)( 2002022000sssss TnnMTnnKf???r?????? ??? )( 2e xp39。 ? ? knT sdttrnK??2)(1e x p39。 ? 假設： ? 通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲； ? 信號是互不相關的等能量、等先驗概率的 2FSK信號。對于隨相信號而言，非相干接收已經(jīng)是最佳的接收方法了。因為隨相信號的相位帶有由信道引入的隨機變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。 上面就是最終判決條件，其中： 按照上面判決準則構成的隨相信號最佳接收機的結構示于下圖中。 ? 因此，可以將此信號表示為： 及將此信號隨機相位的概率密度表示為： )c os (),()c os (),(11110000??????????tAtstAts??? ???其他處,020,2/1)( 00????f??? ???其他處,020,2/1)( 11????f37 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 判決條件： 由于已假設碼元能量相等，故有 在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，按照下式條件作判決： 若接收矢量 r使 f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是“ 0‖， 若接收矢量 r使 f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是“ 1‖。當 k 增 大到 ?時，誤碼率曲 線變成一條垂直線； 這時只要 Eb/n0等于 ( dB)，就能 得到無誤碼的傳輸。 由于一個 M 進制碼元中含有的比特數(shù) k 等于 log2M，故每個比特的能量等于 并且每比特的信噪比為 下圖畫出了誤碼率 Pe與 Eb/n0關系曲線。 ???????????????????????????00 21121nEe r f cnEe r fP bbe???????????????????????????00 2212121nEe r f cnEe r fP bbe33 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如 2ASK信號，則 誤碼率為 ? 比較以上 3式可見，它們之間的性能差 3dB，即 2ASK信號的性能比 2FSK信號的性能差 3dB，而 2FSK信號的性能又比 2PSK信號的性能差 3dB。這時的最小誤碼率等于 例如， 2PSK信號的相關系數(shù)就等于 1。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當兩種碼元的波形相同，相關系數(shù)最大，即 ? = 1時，誤碼率最大。所以，在工程上，通常把 (Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。因為若系統(tǒng)帶寬 B等于 1/Ts， 則有 按照能消除碼間串擾的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為 (1/2Ts) Hz。 ???????? ?????????????????? ???00 2)1(212)1(121nEe r f cnEe r fP bbe??? ?? x z dzexe r f 0 22)( ?)(1)( xe r fxe r f c ??30 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 誤碼率曲線 dB 31 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 最佳接收性能特點 ? 誤碼率僅和 Eb / n0以及相關系數(shù) ?有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。在下圖中畫出了它的曲線。 100 100210200 10)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssss TTTT????????????????????? sT dttsE 0 200 )( ?? sT dttsE 0 211 )(27 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 當兩碼元的能量相等時，令 E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成 并且 將上式代入誤碼率公式，得到 為了將上式變成實用的形式，作如下的代數(shù)變換： 令 則有 bTEdttstsS?? 0 10)()(?)1()]()([21 0 210 ??????? ? bT Edttstsc SdxedxeP bExcxe ????????????)1( 22 22222121 ? ????????????2/xz ?222 2/ ??xz ? ??2/dxdz ?28 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 于是上式變?yōu)? 式中 利用下式中 ??2和 n0關系 代入上式，得到誤碼率最終表示式： ?????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????2)1(121221112212/)1(2/)1(2/)1(2/)1(2222bEzEzEzEzeEe r fdzedzedzedzePbbbb? ?? x z dzexe r f 0 22)( ?)1()]()([2)( 00 20212 ??? ? ????? ? bT EndttstsnD s???????? ?????????????????? ???00 2)1(212)1(121nEe r f cnEe r fP bbe??29 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 式中 — 誤差函數(shù) — 補誤差函數(shù) Eb — 碼元能量； ? — 碼元相關系數(shù)； n0 — 噪聲功率譜密度。 當 s0(t) = s1(t)時， ?＝ 1，為最大值；當 s0(t) = s1(t)時，?＝－ 1，為最小值。 dxeP cxe ? ???? 22221 ?????? ??? sT dttstsc 0 210 )]()([2126 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 先驗概率相等時誤碼率的計算 在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別。 ?當先驗概率不等時： 由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。這樣，上式可以化簡為 式中 上式表明，當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率??2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差 [s0(t) – s1(t)]的能量有關，而與波形本身無關。同理，若 P(0) = 1及 P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“ 1‖。所以若將 r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發(fā)送碼元“ 1‖的條件下收到“ 0‖的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率 P(0 / 1)。 積分器 r(t) SM(t) S0(t) S1(t) 比較判決 積分器 積分器 ????22 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 ? 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率 ? 總誤碼率 在最佳接收機中，若 則判為發(fā)送碼元是 s0(t)。 ? 最佳接收機 ?按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下： ?? ??? ss TTo dttstrWdttstrW 0 0011 )()()()()0(ln200 PnW ? )1(ln201 PnW ?19 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 W1 r(t) S1(t) S0(t) W0 t = Ts 比較判決 積分器 積分器 ?? ??? ss TTo dttstrWdttstrW 0 0011 )()()()(20 r(t) S0(t) S1(t) 積分器 積分器 比較判決 t = Ts 第 10章 數(shù)字信號最佳接收 若此二進制信號的先驗概率相等，則上式 簡化為 最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成 ? ??s sT T dttstrdttstr0 0 01