【正文】 Z XY?ijp(1) Z=X+Y的概率分布為 (2) Z=XY的概率分布為 例 2 若 X和 Y相互獨立 , 它們分別服從參數(shù)為 ， 的泊松 分布 , 證明 Z=X+Y服從參數(shù)為 的泊松分布 1? 2?12???解 依題意 11{}!iP X i ei ?? ???22{}!jP Y j ej ?? ???由離散型卷積公式 0{ } { , }riP Z r P X i Y r i?? ? ? ? ??0 ,1, 2 ,i ?0 ,1 , 2 ,j ?12120 ! ( ) !i r irieei r i????????????12()120!! ! ( ) !ri r iierr i r i?????????? ?? 12() ()!rer?????? 0 ,1, 2 ,r ?即 Z=X+Y服從參數(shù)為 的泊松分布 12???二、連續(xù)型隨機向量的函數(shù)分布 設(shè) (X， Y)是二維連續(xù)型隨機向量，其概率密度為 f(x， y)，令g(x， y)為一個二元函數(shù)，則 g(X， Y)j (X， Y)的函數(shù)。 一、離散型隨機向量的函數(shù)分布 設(shè) (X， Y)是二維隨機向量， g(x,y)是二元函數(shù)，則 g(X,Y)作為 (X， Y)的函數(shù)是一個隨機變量。此類問題就是我們將要討論的 兩個隨機向量函數(shù)的分布 問題 . 本節(jié)我們重點討論兩種特殊的函數(shù) (1) Z=X+Y (2) Z=max(X,Y)和 Z=min(X,Y)，其中 X和 Y相互獨立。 二維隨機變量函數(shù)的分布 在實際應(yīng)用中，有些隨機變量往往是兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)。 xyoyx?解 (1)由 ( ) ( , )Xf x f x y d y????? ? ()x? ? ? ? ? ?當 x≤0時， ( ) 0Xfx ?當 x0時， () yxX xf x e dy e?? ?????所以 ,0() 0 , 0xXexfxx?? ?? ? ??類似得 ,0() 0,yYy e yfy ?? ?? ??? y0(2)求在 Y=y的條件下， X的條件概率密度。 0??例 7 設(shè)隨機變量 (X， Y)的概率密度為 ,0( , )0,ye x yf x y?? ??? ?? 其 它(2)求在 Y=y的條件下， X的條件概率密度。 例 4 設(shè) (X， Y)的概率密度為 () , 0 , 0( , )0,xyx e x yf x y??? ??? ?? 其 它問 X和 Y是否獨立？ () , 0 , 0( , ) 0,xyx e x yf x y??? ??? ?? 其 它解 ( ) ( , )Xf x f x y d y????? ?()0()xyXf x x e d y?? ??? ?0xyx e e d y????? ? 0( ) |xyx e e? ? ? ??? xxe ??當 x0時， ,0()0,xXx e xfx ?? ???? 其 它所以 同樣，有 ()0()xyYf y x e d x?? ??? ?當 x0時， 0yxe x e d x????? ?ye??00[ | ]y x xe x e dx??? ? ? ? ?? ? ? ?0[]yxee? ? ? ???,0()0,yYeyfy ?? ???? 其 它而對一切 x， y均有 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?故 X與 Y相互獨立。即若 (X， Y)是連續(xù)型隨機變量，則對任一集合 A， |{ | } ( | )XYAP X A Y y f x y dx? ? ? ?特別地，取 A=(∞， +∞)，定義在已知 Y=y的條件下 X的條件分布函數(shù)為 ||( | ) { | } ( | )xX Y X YF x y P X x Y y f t y d t??? ? ? ? ?二維連續(xù)型隨機變量的獨立性 定義 4 設(shè) (X， Y)為二維連續(xù)型隨機變量， f(x， y)為其聯(lián) 合概率密度， fX(x) ， fY(y)分別為 X與 Y的邊緣密度， 若任意的 x， y， 有 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?幾乎處處成立，則稱 X， Y相互獨立 。 定義 3 設(shè)二維離散型隨機變量 (X， Y)的概率密度為 f(x， y)，邊緣密度為 fX(x)， fY(y)，則對一切使 fX(x)0的 x，定義在 X=x的條件下 Y的條件概率密度為 |( , )( | )()XY Yf x yf x yfy? 類似地， 對一切使 fY(y)0的 y，定義在 Y=y的條件下 X的條件概率密度為 |( , )( | )()YX Xf x yf y yfx?關(guān)于定義內(nèi)涵的解釋：以 為例 |( , )( | )()XY Yf x yf x yfy?|( , ) { , }( | )( ) { }XY Yf x y d x d y P x X x d x y Y y d yf y y d xf y d y P y Y y d y? ? ? ? ? ???? ? ?{ | }P x X x d x y Y y d y? ? ? ? ? ? ?也就是說，對很小的 dx和 dy， fX|Y(x|y)表示已知 Y取值于 y和y+dy之間的條件下， X取值于 x和 x+dx之間的條件概率 。 例 2 設(shè) X和 Y的聯(lián)合分布律為 X Y 1 0 2 0 0 0 1 2 (1)求 Y=0時， X的條件概率分布； (2)判斷 X與是否相互獨立？ 解 (1) { 0 } 0 . 2 0 . 0 5 0 0 . 2 5PY ? ? ? ? ?在 Y=0時， X的條件概率分布為 { 0 , 0 } 0 . 2{ 0 | 0 } 0 . 8{ 0 } 0 . 2 5P X YP X YPY??? ? ? ? ??{ 1 , 0 } 0 . 0 5{ 1 | 0 } 0 . 2{ 0 } 0 . 2 5P X YP X YPY??? ? ? ? ?? X Y 1 0 2 0 0 0 1 2 { 2 , 0 } 0{ 2 | 0 } 0{ 0 } 0 . 2 5P X YP X YPY??? ? ? ? ??即 X