【正文】 群 G中任何兩個(gè)元素相乘，得到的還是該群的一個(gè)元素。因此，我們不打算在這里講過多的群論的知識(shí)，只是簡單介紹一下群的概念。它可以簡化復(fù)雜的計(jì)算，也可以預(yù)言物理過程的發(fā)展趨勢(shì)，還可以對(duì)體系的許多性質(zhì)作出定性的了解。 4度螺旋軸 MM?滑移反映面 總之 ,平移、螺旋旋轉(zhuǎn)和滑移反映對(duì)稱操作無需憑借一個(gè)保持不動(dòng)的點(diǎn)來完成 ,它們都包含平移操作 ,適用于無限大點(diǎn)陣 .無限大點(diǎn)陣和晶體的微觀結(jié)構(gòu)一致 ,所以上述操作稱為微觀對(duì)稱操作 . 三、群和晶體結(jié)構(gòu)的分類 定量研究對(duì)稱操作集合的性質(zhì)要用群論的知識(shí)。 若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后 ,再沿平行于該面的某個(gè)方向平移 T/n后 ,晶體能自身重合 ,則稱此面為滑移反映面 ,相應(yīng)的操作稱為滑移反映對(duì)稱操作。 n只能取 6。 若將晶體繞軸旋轉(zhuǎn) 2?/n角以后，再沿軸方向平移 l(T/n)，晶體能自身重合，則稱此軸為 n度螺旋軸，相應(yīng)的對(duì)稱操作稱為螺旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。所以含有平移的對(duì)稱操作都是晶體的微觀對(duì)稱操作所特有的。 顯然，空間點(diǎn)陣應(yīng)是無限的情形，才會(huì)有平移對(duì)稱性。對(duì)應(yīng)三種新的對(duì)稱元素，即 :平移軸、螺旋軸和滑移面?？紤]平移后的對(duì)稱性稱為晶體的微觀對(duì)稱性。因?yàn)椴话揭?,所以宏觀對(duì)稱操作又稱為點(diǎn)對(duì)稱操作。但是，對(duì)于具有 立方對(duì)稱 和 正四面體對(duì)稱 的晶體材料，介電常數(shù)退化為一個(gè) 標(biāo)量 . 對(duì)于 六角對(duì)稱 的晶體，介電常數(shù)為 11 12 1321 22 2331 32 33? ? ?? ? ? ?? ? ??????????0? ? ? ?? ? ??11223 3 //0 0 0 00 0 0 00 0 0 0??? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 為了證明上述關(guān)系，首先我們給出介電常數(shù)在點(diǎn)對(duì)稱操作后的形式 電位移矢量 D與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量 E滿足 其中 ε為介電常數(shù) ,設(shè)晶體有點(diǎn)對(duì)稱操作 (變換矩陣 )A，現(xiàn)在對(duì)晶體實(shí)施該對(duì)稱操作，則有 所以 DE??/E A E? /D A D?1 / /TE A E A E???從而 / / / /TD A D A E A A E E? ? ?? ? ? ?所以介電常數(shù)在點(diǎn)對(duì)稱操作后的形式為 / TAA???由于 A是點(diǎn)對(duì)稱操作，所以介電常數(shù)在操作前后不變。 (1). 一個(gè)晶體如果具有 鏡像反映對(duì)稱性 ,則該對(duì)稱操作變矢量左旋為右旋 ,因而該晶體 無旋光性 ； (2). 一個(gè)晶體如果具有 中心反演對(duì)稱性 ，則該對(duì)稱操作使矢量改變符號(hào)，因而該晶體 無固有偶極矩 。它保留了立方體的 12個(gè)純旋轉(zhuǎn)操作 和 12個(gè)非純旋轉(zhuǎn)操作 。由于 正四面體沒有對(duì)稱中心 ，立方對(duì)稱的三條 4次軸 100和對(duì)稱中心退化為 四次旋轉(zhuǎn)反演軸 【 6個(gè)非純轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng) π/2或 3π/2）加上 3個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng) （轉(zhuǎn)動(dòng) π） 】 。所以 純旋轉(zhuǎn)操作加起來共 24個(gè) ，由于立方對(duì)稱有對(duì)稱中心，所以純旋轉(zhuǎn)操作加上中心反演的組合操作，即 非純旋轉(zhuǎn)操作 共 24個(gè) ，合起來 48個(gè) 。 晶體中 8種獨(dú)立的宏觀對(duì)稱元素（或?qū)ΨQ操作）用 熊夫利符號(hào)標(biāo)記 則為 C1， C2， C3， C4， C6 ， Ci，Cs， S4。 還有一套標(biāo)記法，是 固體物理中慣用的標(biāo)記 ，是熊夫利 (Schoenflies)制訂的，因此稱為 熊夫利符號(hào) (Schoenflies notation). 熊夫利符號(hào)中 Cn 表示旋轉(zhuǎn)軸； Sn 表示旋轉(zhuǎn)反演軸； Ci 表示中心反演； Cs 表示鏡面反映。 41 2 3 4 43? 1?4?2? 還有一些其它的組合操作，如 旋轉(zhuǎn) +鏡面反映 ，但不再給出新的對(duì)稱元素。 1?2?3?4?5?C?A?D?G? F?H? E?B?6次旋轉(zhuǎn)反演軸等價(jià)于 3次純旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱鏡面 m，記為 63 m??所以 旋轉(zhuǎn)反演軸 中只有 是獨(dú)立的對(duì)稱素 4旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作中只有 4度旋轉(zhuǎn)反演 對(duì)稱操作是獨(dú)立的 晶體中獨(dú)立的宏觀對(duì)稱操作 (或?qū)ΨQ元素 )只有 8種 , 即： i、 m、 。 n 由于晶體周期性的限制， 旋轉(zhuǎn)反演軸 也必須遵循 晶體的對(duì)稱性定律 ，即： 1 , 2 , 3 , 4 , 6n ?旋轉(zhuǎn) 反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素 。同樣 處原來也必定有一個(gè)格點(diǎn) A?A?A BA?B?? ? aaa亦即 ： 2 c o s ( )a a m a??? ? ? 1 2 c o sm ????1 c o s 1?? ? ?而且 ,m必須為整數(shù) ,所以 ,m只能取 1,0,1,2,3 由于 組成等腰梯形 , ABA B??,A B m AB m a?? ??m為整數(shù) A BA?B?? ? aaa因此 與 m=1,0,1,2,3相應(yīng)的轉(zhuǎn)角為 : 22222 , , , , 1 , 6 , 4 , 3 , 26 4 3 2 n??????? ? ? 通常把晶體中 軸次最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸 稱作 主對(duì)稱軸 ，簡稱 主軸 (但是立方晶系則以 3次軸為主軸 ),其它為 副軸 . 晶體的對(duì)稱操作除了 旋轉(zhuǎn)、中心反演和鏡面反映 3種基本對(duì)稱操作外，在某些晶體中還存在著 等價(jià)于相繼進(jìn)行兩個(gè)基本對(duì)稱操作 (乘法 )而得到的獨(dú)立對(duì)稱操作 ，稱為組合操作 ，從而出現(xiàn) 新的對(duì)稱元素 上述操作稱為 非純旋轉(zhuǎn)操作 。 B?B?因?yàn)?B 和 A 完全等價(jià) ,所有旋轉(zhuǎn)同樣可以繞 B 進(jìn)行 . 如圖 ,A為格點(diǎn) ,B為離 A最近的格點(diǎn)之一 ,則與 平行的格點(diǎn)之間的距離一定是 的 整數(shù)倍 。 晶體只能具有 有限個(gè)數(shù) 的宏觀對(duì)稱操作或?qū)ΨQ元素，對(duì)稱元素的 組合也是一定的 ，這稱為晶體的 宏觀對(duì)稱性破缺 如果一個(gè)晶體 繞某軸旋轉(zhuǎn) 2π/n及其倍數(shù)不變 ，稱 該軸為 n次（或 n度）旋轉(zhuǎn)軸 。相應(yīng)的 對(duì)稱元素 有 :對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、對(duì)稱面 。用矩陣形式表示，則有 xxyyzz???? ???? ????1 0 00 1 00 0 1A???????????1A? ? ?1 0 00 1 00 0 1xxyyzz?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng)變換是 純轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)， 矩陣的行列式 等于 +1；當(dāng)是 空間反演 或 鏡面反射 時(shí)等于 1. 前一種對(duì)應(yīng)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，另一種不能靠物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。 我們這里要討論的主要是 晶體（晶格或點(diǎn)陣 )的對(duì)稱性 (symmetry of lattice). 一、晶體的宏觀對(duì)稱性和宏觀對(duì)稱操作 晶體的對(duì)稱性 可以從晶體外形的規(guī)則性上反映出來 ,如 sc、 bcc、 fcc結(jié)構(gòu)的立方晶體 ,繞晶胞的任一 基矢