【正文】 面體 . 對于具有六角對稱的晶體： 對六角晶系，繞 x(即 a)軸旋 180度 和繞 z(即 c)軸旋轉(zhuǎn) 120 度都是對稱操作． x1 0 0A 0 1 00 0 1??????????＝1 2 3 2 03 2 1 2 00 0 1zA????????????TAA???代入 可證 . 注意有的題解上寫成 ,則矩陣 A需要轉(zhuǎn)置 . TAA???二、晶體的微觀對稱性和微觀對稱操作 上面我們主要討論了晶體的宏觀對稱性和宏觀對稱操作。 由于把立方體相間的四個頂點連接起來就構(gòu)成了正四面體，所以， 正四面體所有對稱素和對稱操作包含于立方體中 。其中數(shù)字 n( 6)表示 純轉(zhuǎn)動對稱操作 (或轉(zhuǎn)動軸 )； i表示中心反演（或?qū)ΨQ中心）； m表示鏡面反映（或?qū)ΨQ鏡面）。 晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是 4和 6次軸，稱為 晶體的對稱性定律 晶體的對稱性定律的證明 如果 繞 A轉(zhuǎn) ?角 ,晶格保持不變 (對稱操作 ).則該操作將使 B 格點轉(zhuǎn)到 位置 ,則由于轉(zhuǎn)動對稱操作不改變格子 ,在 處必定原來就有一個格點。因為對稱性越高的系統(tǒng)，需要獨立表征的系統(tǒng)要素就越少，因而描述起來就越簡單，且能大大簡化某些計算工作量 。相應(yīng)的 對稱元素 有 :對稱軸、對稱中心、對稱面 。 n 由于晶體周期性的限制， 旋轉(zhuǎn)反演軸 也必須遵循 晶體的對稱性定律 ，即： 1 , 2 , 3 , 4 , 6n ?旋轉(zhuǎn) 反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素 。 晶體中 8種獨立的宏觀對稱元素（或?qū)ΨQ操作）用 熊夫利符號標(biāo)記 則為 C1， C2， C3， C4， C6 ， Ci，Cs， S4。 (1). 一個晶體如果具有 鏡像反映對稱性 ,則該對稱操作變矢量左旋為右旋 ,因而該晶體 無旋光性 ； (2). 一個晶體如果具有 中心反演對稱性 ，則該對稱操作使矢量改變符號，因而該晶體 無固有偶極矩 。對應(yīng)三種新的對稱元素，即 :平移軸、螺旋軸和滑移面。 n只能取 6。因此，我們不打算在這里講過多的群論的知識，只是簡單介紹一下群的概念。 用熊夫利符號表示的話， 7個晶系隸屬的點群從低到高排序分別是 三斜晶系 屬 Ci(或 S1)群 、 單斜晶系 屬 C2h群 、正交晶系 屬 D2h群 、 三角晶系 屬 D3d群 、 四方晶系 屬 D4h群 、 六角晶系 屬 D6h群 、 立方晶系 屬 Oh群 。 ≠β。三角晶系又稱 三方晶系 。 D6h群，具有一條 6次軸、六條與 6次軸垂直的 2次軸和 i，所以有 24個群元素 。 點對稱操作 加上 平移操作 構(gòu)成 空間群 。在 c和 b形成的底面加心 記為底心A. 加心后 7大晶系構(gòu)成 14種布拉維格子 ： ??? ???? ,cba??? ?????090： ： 00 1 2 090 ????????cba簡單三斜 (1) 簡單單斜 (2) 底心單斜 (3) 三角 (4) ： 090????????cba簡單正交 (5)，底心正交 (6)體心正交 (7)，面心正交 (8) ： (正方晶系 ) 090??? ?? ??? cba 簡單四角 (9)，體心四角 (10) ： 00 12090 ????????cba 六角 (11) ： 090????????cba簡立方 (12)，體心立方 (13)，面心立方 (14) 簡單三斜 (1) ??? ?????090,cba簡單單斜 (2) 底心單斜 (3) 1） .三斜晶系： 2） .單斜晶系： ??? ???? ,cba3） .三角晶系： 三角 (4) 00 1 2 090 ???? ?? ??? cba4） .正交晶系： 090????????,cba簡單正交 (5) 底心正交 (6) 體心正交 (7) 面心正交 (8) 5） .四方晶系 090????????cba體心四方 (10) 簡單四方 (9) 6） .六角晶系： 00 12090 ????????cba六角 (11) 7） .立方晶系： 090????????cba簡立方 (12) 體心立方 (13) 面心立方 (14) 從表面上來看，上述布拉維格子似乎還可以增加一些體心、面心或底心格子。 A— 底心 (b和 c形成的底面 )。因為，畢竟只有 14種布拉維格子。 空間群國際符號第一個字母 如： Pm3m空間群 ，對應(yīng)的布拉維格子是 簡立方 (CsCI and cubic perovskite)； Fm3m空間群 ，對應(yīng)的布拉維格子是 面心立方 (NaCI and CaF2)； Fd3m復(fù)雜空間群(diamond)； F3m(Zinc blende)簡單空間群，兩個 fcc晶格套構(gòu)； (hexagonal close packed)。 如四方晶系只有簡單四角和體心四角；如果增加一個面心四角，結(jié)果仍是體心四角。 晶胞的體心和面心上都可以有格點 . 例如 sc、 bcc、 fcc點陣 ,從宏觀對稱性（點群）來看 ,都屬于立方晶系（ Oh群 ） . 但是 , 三者的 原胞基矢不同 , 所以 sc、 bcc、 fcc點陣 具有不同的平移對稱性 ，也就是說 屬于不同的空間群 . 我們可以通過對 7個晶系采取 加心 （體心、面心、底心）的方法得到新的點陣類型。 (7) 立方晶系 (Cubic System)： a＝ b＝ c,α＝ β＝ γ＝ 90176。 。因為它只有 a和 c互相不垂直，所以稱為單斜晶系 (3) 正交晶系 (Orthorhombic System): a≠b≠c, α＝ β＝ γ＝ 90。 /n m n m mm 或垂直于一個鏡面但平行于其它反映面的 n次旋轉(zhuǎn)軸 7個晶系 (crystal system)相應(yīng)的點群 1 2 2 4 3 6, , , , , ,h h h d h hS C D D D D O如果 考慮基元的對稱性 ，則 同一個晶系 ，可能會出現(xiàn) 若干種不同的結(jié)構(gòu) 。 構(gòu)成群的元素要滿足以下條件： 設(shè) 等表示群 G中所包含的元素或操作 1 2 3,A A A即 ： , 1 , 2 , 3 , { }iiA G i G A? ? ? ?必須滿足下列條件： 1). 封閉性 (closure property) 按照給定的 乘法 規(guī)則，群 G中任何兩個元素相乘，得到的還是該群的一個元素。 若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后 ,再沿平行于該面的某個方向平移 T/n后 ,晶體能自身重合 ,則稱此面為滑移反映面 ,相應(yīng)的操作稱為滑移反映對稱操作。 顯然，空間點陣應(yīng)是無限的情形，才會有平移對稱性。但是，對于具有 立方對稱 和 正四面體對稱 的晶體材料，介