【正文】 造）⑶已知，求證：.（替換構造）解：⑴將代入切線方程得.∴，化簡得.，解得.∴ .⑵由已知得在上恒成立化簡，即在上恒成立設，.∵ ∴，即∴在上單調遞增，∴在上恒成立 .⑶∵，∴，由⑵知有， 整理得∴當時，.55. （替換證明）已知函數(shù)．（1）試判斷函數(shù)的單調性； （2）設，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．解：（1）函數(shù)的定義域是．由已知．令，得．因為當時，；當時，．所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）可知當，即時，在上單調遞增，所以．當時，在上單調遞減，所以．當，即時，．綜上所述，（3）由（1）知當時．所以在時恒有，即，當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為，所以，即．因此對任意，不等式．56. （2010湖北，利用⑵結論構造）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（反比例，作差構造）⑶.（替換構造）解：本題主要考察函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎知識，同事考察綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。由上述方程消去y，并整理得①依題意，方程②有兩個相等的實數(shù)根，解之，得m=4或m=2， （II）由（I）可知，單調，當時，單減。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數(shù)的最大值。，所以51. 已知函數(shù)，其中常數(shù)⑴若處取得極值，求a的值； ⑵求的單調遞增區(qū)間；⑶已知若，且滿足，試比較的大小，并加以證明。(Ⅱ) 設直線與曲線的交點的橫坐標分別為, 且, 求證: .解：（1） 單調遞增，單調遞減， （2）不妨設，要證只需證 ，即，令，只需證， 令 在單調遞增。 令,解得．……………2分 所以，函數(shù)在和上單調遞增,在上單調遞減 ②當時，即時, 顯然，函數(shù)在上單調遞增；……………3分 ③當時，即時, 令,解得或。③若,即,同理在單調減少，在單調增加.⑵考慮函數(shù) 則（另一種處理）由于1a5,故，即g(x)在(4, +∞)單調增加，從而當時有，即，故，當時，有.（另一種處理），結合二次函數(shù)圖象設≥≥＞041. 已知函數(shù)（1）確定函數(shù)的單調性；（2）若對任意，且，都有，求實數(shù)a的取值范圍。②若,而,故,則當時。 由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根， 其充要條件為，得 當時，在內(nèi)為增函數(shù)； 當時，在內(nèi)為減函數(shù)； 當時，在內(nèi)為增函數(shù)； ⑵由⑴知， 由得， 設， 則 當時，在單調遞增； 當時，在單調遞減。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=⑶由題設所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得因為（難點）若，而，不合題意；若則對任意的有則，又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得，綜上，m的取值范圍是30. （2007全國II理22，轉換變量后為根的分布）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．解：（1）．在點處的切線方程為，即．（2）如果有一條切線過點，則存在，使．若過點可作曲線的三條切線，則方程 有三個相異的實數(shù)根．記 ，則．當變化時，變化情況如下表：000極大值極小值如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即 ．31. 已知函數(shù)在點處的切線方程為．⑴求函數(shù)的解析式；⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．解：⑴．…………………………………………………………2分根據(jù)題意，得即解得……………………3分所以．………………………………………………………………4分⑵令，即．得．12++增極大值減極小值增2因為，所以當時，．………………………………6分則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，所以．所以的最小值為4．……………………………………………………………………8分⑶因為點不在曲線上，所以可設切點為．則．因為，所以切線的斜率為．………………………………9分則=，………………………………………………………………11分即．因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實數(shù)解．所以函數(shù)有三個不同的零點．則．令，則或．02++增極大值減極小值增則 ，即，解得．32. （2011省模，利用⑴的結論，轉化成根的分布分題）已知，函數(shù)（其中）（I）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（II）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：⑴當即時，在上單調遞增，當即時，當時，在上單調遞減，綜上⑵函數(shù)的圖像與的圖像有且只有三個不同的交點，即函數(shù)的圖像與軸的正半軸有且只有三個不同的交點。函數(shù)在上單調遞增 ⅱ 當時， ①當時，即時, 令,解得或。4. （最值，按區(qū)間端點討論）已知函數(shù)f(x)=lnx－.(1)當a0時，判斷f(x)在定義域上的單調性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為，求a的值.解：(1)由題得f(x)的定義域為(0,＋∞)，且 f ′(x)＝＋＝.∵a0，∴f ′(x)0，故f(x)在(0,＋∞)上是單調遞增函數(shù).(2)由(1)可知：f ′(x)＝，①若a≥－1，則x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此時f(x)在[1,e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去). ②若a≤－e，則x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此時f(x)在[1,e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).③若－ea－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.當1x－a時，f ′(x)0，∴f(x)在(1,－a)上為減函數(shù)；當－axe時，f ′(x)0，∴f(x)在(－a,e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.綜上可知：a＝－.5. （最值直接應用）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若是的極值點，求的值；（Ⅱ）求的單調區(qū)間；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍.解：（Ⅰ）.依題意，令，解得 . 經(jīng)檢驗，時，符合題意. （Ⅱ）解：① 當時，.故的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是.② 當時，令，得，或.當時，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是和.當時，的單調減區(qū)間是. 當時，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是和.③ 當時，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是.綜上，當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當時，的減區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.（Ⅲ）由（Ⅱ）知 時，在上單調遞增，由，知不合題意.當時，在的最大值是，由，知不合題意.當時，在單調遞減，可得在上的最大值是，符合題意. 所以，在上的最大值是時，的取值范圍是.6. （2010北京理數(shù)18）已知函數(shù)=ln(1+)+(≥0).(Ⅰ)當=2時，求曲線=在點(1,(1))處的切線方程；(Ⅱ)求的單調區(qū)間.解：（I）當時，由于，所以曲線在點處的切線方程為 即（II），.當時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.當時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.當時， 故得單調遞增區(qū)間是.當時，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是7. （2010山東文21，單調性）已知函數(shù) ⑴當時，求曲線在點處的切線方程； ⑵當時，討論的單調性.解：⑴⑵因為 ， 所以 ， 令 8. (是一道設計巧妙的好題，同時用到e底指、對數(shù)，需要構造函數(shù)，證存在且唯一時結合零點存在性定理不好想，⑴⑵聯(lián)系緊密)已知函數(shù)⑴若函數(shù)φ (x) = f (x)－，求函數(shù)φ (x)的單調區(qū)間；⑵設直線l為函數(shù)f (x)的圖象上一點A(x0，f (x0))處的切線，證明：在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切．解：（Ⅰ） ，．∵且，∴∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為． （Ⅱ）∵ ，∴，∴ 切線的方程為, 即, ① 設直線與曲線相切于點，∵，∴，∴,∴. ∴直線也為， 即， ② 由①②得 ，∴． 下證：在區(qū)間（1,+）上存在且唯一.由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．又，結合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一，故結論成立．9. （最值應用，轉換變量）設函數(shù)．(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調性；(2)當時，任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：⑴．當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．當時，減區(qū)間為．當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．⑵由⑴知，當時，在上單調遞減，∴，≤，即≤．∵恒成立，∴＞，即，又，∴．∵，∴，∴≤．10. （最值應用）已知二次函數(shù)對都滿足且，設函數(shù)（，）．（Ⅰ）求的表達式；（Ⅱ）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）設，求證：對于，恒有． 解：（Ⅰ）設，于是所以 又，則．所以． …………3分 （Ⅱ）當m0時，由對數(shù)函數(shù)性質，f（x）的值域為R；…………4分當m=0時，對，恒成立； …………5分 當m0時，由，列表：x－0＋減極小增 所以若，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是． 故使成立，實數(shù)m的取值范圍．…………9分（Ⅲ）因為對，所以在內(nèi)單調遞減．于是記，則所以函數(shù)在是單調增函數(shù)， 所以，故命題成立． …………12分11. 設是函數(shù)的一個極值點.（1）求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間；（2）設，若存在，使得 成立，求的取值范圍.解：（1）∵ ∴ 由題意得：，即，∴且令得，∵是函數(shù)的一個極值點 ∴，即 故與的關系式為. 當時，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；當時，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；（2）由（1）知：當時，在上單調遞增，在上單調遞減，,∴在上的值域為. 易知在上是增函數(shù), ∴在上的值域為. 由于，又∵要存在，使得成立，∴必須且只須解得:. 所以，的取值范圍為. 12. ． （1）若，求函數(shù)的極值； （2）若是函數(shù)的一個極值點，試求出關于的關系式（用表示），并確定的單調區(qū)間； （3）在（2）的條件下，設，函數(shù)．若存在使得成立，求的取值范圍．解:（1）∵當時，,則.令得，∵,∴，解得∵當時，當時，當時∴當時，函數(shù)有極大值，當時，函數(shù)有極小值，．（2）由（1）知∵是函數(shù)的一個極值點 ∴即，解得 則＝令，得或∵是極值點，∴，即 .當即時，由得或由得當即時，由得或由得.綜上可知：當時，單調遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為當時，單調遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為。.. . . ..導數(shù)壓軸題型歸類總結目　　錄一、導數(shù)單調性、極值、最值的直接應用 （1）二、交點與根的分布　（23）三、不等式證明?。?1）（一）作差證明不等式?。ǘ┳冃螛嬙旌瘮?shù)證明不等式（三）替換構造不等式證明不等式四、不等式恒成立求字母范圍?。?1）（一）恒成立之最值的直接應用（二）恒成立之分離常數(shù)（三）恒成立之討論字母范圍五、函數(shù)與導數(shù)性質的綜合運用　（70）六、導數(shù)應用題　（84）七、導數(shù)結合三角函數(shù)　（85）書中常用結論⑴，變形即為，其幾何意義為上的的點與原點連線斜率小于1.⑵⑶⑷.一、導數(shù)單調性、極值、最值的直接應用1. （切線）設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.解：(1)時，由，解得. 的變化情況如下表：010+0↘極小值↗0 所以當時，有