北郵數(shù)理方程課件第三章分離變量法-文庫吧資料
2025-04-22 23:59本頁面
【正文】 ，濃度將不隨時間而變化，這時就是臨界密度.例13矩形區(qū)域，上，電位滿足，并滿足邊界條件：。解：采用極坐標表示即 ，將代入方程及邊界條件，得 及 （3）可見（1）和（3）構(gòu)成本征值問題。 （3）當(dāng) 時，上述固有值問題有非零解．此時式（6）的通解為代入條件（6）中邊界條件，得由于 ，故 ，即從而得到一系列固有值與固有函數(shù)與這些固有值相對應(yīng)的方程（3）的通解為于是，所求定解問題的解可表示為利用初始條件確定其中的任意常數(shù)，得故所求的解為例2 演奏琵琶是把弦的某一點向旁邊撥開一小段距離，然后放手任其自由振動。（2）式代入邊界條件（（1）中第二式），得 （5）相應(yīng)的本證值問題為求 （6）的非零解．下面針對的取值情況進行討論： （1）當(dāng)時，（6）式中方程的通解是 （7）其中A，B為積分常數(shù)，（7）代入（6）中邊界條件，得 （8）由（8）得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故不可能有。 專業(yè)資料整理分享 第三章 分離變量法3。2 基礎(chǔ)訓(xùn)練 例題分析 例1 解下列定解問題： （1）解：分離變量，即令 （2）代入方程（（1）中第一式），得 （3） （4）其中為分離常數(shù)。 (2) 當(dāng)時，（6）式中方程的通解是 由邊界條件得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故也不可能有。設(shè)弦長為，被撥開的點在弦長的(為正整數(shù))處，撥開距離為，試求解弦的振動，即求解定解問題解：將代入原方程及邊界條件得 （1） （2）解(2)第一式可得由（2）的第二式得，將代入（1）并解得由初始條件得所以從而例3 求解細桿的導(dǎo)熱問題，桿長，兩端保持零度，初始溫度分布.解：該問題的定解問題為 （1）令, 代入(1)第一式可得， （2） （3）由(2)得 （4）由(1)第三式可得，由得，由，得， 于是有，因此，將作Fourier展開得其中于是因此例4 在矩形域 內(nèi)求Laplace方程 （1）的解，使其滿足邊界條件 解：令 ，代入式(1)，有 （4） （5）又由邊界條件(3)得 (6)當(dāng)時，式(5)的通解為由式(6)有 由此得 ，即式(5)、(6)無非零解．當(dāng)時，式(5)的通解為由 ，得 ．當(dāng)時，式(5)的通解為由 得，由 得，得，即 ．由此可見，本征值為 本征函數(shù)為 將的值代入式(4)，解得 故問題的一般解為 (7)由邊界條件 得到一個無窮級數(shù)等于零，說明各項系數(shù)均為零，故 (8)又由得將Ay展開成Fourier余弦級數(shù)，并比較系數(shù)有故 (9)從式(8)和(9)中解得代入式(7)并整
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