【正文】 各種情況進行討論 。 分析 ：先求得邊緣密度函數(shù)，再根據(jù)條件概率的定義進行求解 。 分析 ：通過 (X ,Y )的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在 X =1 條件下 Y 條件分布密度。 分析 ：根據(jù)密度函數(shù)的定義可以看出分布函數(shù) 與所在的區(qū)域 (x, y)有關，可分區(qū)域分別進行討論。 解 ： （ 1）因為 ，因此 C=4； （ 2）因為 ， 當 0 ﹤ y ﹤ 1,0 ﹤ x ﹤ 1 時， ，當為其它情況時 ，所以 ， ；同理 ； （ 3） 則有 ， 因此， X 與 Y相互獨立 。 分析 ：由聯(lián)合密度函數(shù) p(x, y)的性質 確定常數(shù) C，由邊緣密度函數(shù)的定義： ，計算廣義積分得 。 （ 3）在有放回抽樣時，因為 ，所以 X與 Y相互獨立；在不放回抽樣時，因為 ，所以 X 與 Y不相互獨立。 （ 2）在有放回抽樣時，對表 31，按各列、各行相加，得關于 X 、 Y 的邊緣分布律為表 3 表 34。 解 ： X、 Y 都服從 01 分布，分別記 （ 1）在有放回抽樣時，聯(lián)合分布律為： ，可列成表，如表 31 所示 。由二維隨機變量 (X ,Y )的邊緣分布律的定義， ；將聯(lián)合分布律表中各列的概率相加，即得關于 X 的邊緣分布律；將聯(lián)合分布律表中各行的概率相加，即得關于 Y 的邊緣分布律 。 例題解析 【例 1】設一盒內有 2 件 次品， 3 件正品，進行有放回的抽取和無放回的抽取 .設 X 為第一次抽取所得次品個數(shù)， Y 為第二次抽取所取得次品個數(shù) .試分別求出兩種抽取下： （ 1） (X ,Y )的聯(lián)合分布律； （ 2）二維隨機變量 (X ,Y )的邊緣分布律； （ 3） X 與 Y 是否相互獨立 。 兩者可以說不是一個問題 。P{Y ≤y}。說明當獨立時，邊緣分布也唯一確定聯(lián)合分布，從而條件分布也唯一確定聯(lián)合分布 。 但是，如果 X、 Y 相互獨立，則 P{X ≤x,Y ≤y} =P{X ≤x}P{Y ≤y}，因為 P{Y ≤y | X≤x} =P{Y ≤y}。 兩個隨機變量函數(shù)的分布 設二維隨機變量 (X ,Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 p(x, y)， Z=Φ(X ,Y )是 X ,Y 的函數(shù)，則 Z 的分布函數(shù)為 。 設 (X ,Y )為二維離散型隨機變量， X 與 Y 相互獨立的充要條件是 。 同理，有 。 （ 2）連續(xù)型隨機變量的條件分布 設 (X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨機變量 ，其聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)分別為： 。 二維隨機變量的條件分布 （ 1）離散型隨機變量的條件分布 設 (X ,Y )為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為 ： ，則當 j 固定，且時，稱 ： 為條件下隨機變量 X 的條件分布律。 當 (X ,Y )為離散型隨機變量，則稱 分別為關于和關于的邊緣分布律。 聯(lián)合分布律具有下列性質： （ 1） ； （ 2） 二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函 數(shù) 如果存在一個非負函數(shù) p(x, y) ,使得二 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 15/42 維隨機變量 (X ,Y )的分布函數(shù) F (x, y)對任意實數(shù) x, y 有 ，則稱(X ,Y )是二維連續(xù)型隨機變量，稱 p(x, y)為 X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)） 。 設（ X ,Y ）為二維隨機變量，對于任意實數(shù) x 、 y ，稱二元函數(shù) F (x, y)=P{X ≤x,Y ≤y}為（ X ,Y ）的聯(lián)合分布函數(shù) 。 分析 ：根據(jù)分布函數(shù)的定義，先求 Y=X2的分布函數(shù)，然后對其求導，即可得到 Y 的概率密度。 解 ：由 ， 知，所以的取值區(qū)間為 。 解 ： X 與 Y 的對應關系如下表 27： 由表可知， Y 的取值只有 1， 0， 1 三種可能，由于 ， 所以， 的分布律為 (表 28)： 【例 8】設隨機變量 X 服從正態(tài)分布 ，求隨機變量函數(shù) 的概率密度。 分析 ： X 是離散型隨機變量， Y 也是離散型隨機變量 .當 X 取不同值時，將 Y 那些取相等的值 分別合并，并把相應的概率相加 。 解 ：根據(jù)題意： ，故 ， 而 ，反查標準正態(tài)分布表，得： 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 13/42 同樣， ，而，通過反查標準正態(tài)分布表，得： 由（ 1）、（ 2）兩式解得： ，所以 X ～ N (72,102 )； 已知錄用率為 ，設被錄用者中最低分為 X0，則，而 反查標準正態(tài)分布表，得： ，解得： X0 ≈ 故：被錄用者中最低分為 79 分 。 由 p =P{X﹥ 10}及分布律的定義，可求得 Y 的分布律，進而求 P{Y≥1}。 他一個月要到銀行 5次，以 Y 表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出 Y 的分布律，并求 P{Y≥1}。 解 ： 設 X 為在 1 小時 內進入圖書館的人數(shù)， 則 X ～ P(λ )，這時： ，已知 ，故 .所求概率為： 【例 4】設隨機變量 X 的密度函數(shù)為 ，試求： 12/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 （ 1）常數(shù) c ；（ 2） ；（ 3） X的分布函數(shù) . 分析 ：由密度函數(shù)的性質 可求得常數(shù) C；對密度函數(shù)在上積分，即得，根據(jù)連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)的定義可求 X 的分布函數(shù) 。 分析 ： 1 小時內進入圖書館的人數(shù)是一個隨機變量 X ，且 X ～ P(λ ) .這樣， {X =0}表示在 1 小時內無人進入圖書館， {X ≥2}表示在 1小時內至少有 2人進入圖書館 。 已知 1 小時內無人進入圖書館的概率為 。 根據(jù)號碼是 “小 于5”、 “等于 5”、 “大于 5”的三種情況，可定義該隨機變量的取值 .進一步，可由隨機變量 的分布律與分布函數(shù)的定義，求出其分布律與分布函數(shù) 。 【例 2】盒中裝有大小相等的球 10 個，編號分別為 0、 … 、 1 個，觀察號碼是“小于 5”、 “等于 5”、 “大于 5”的情況 .試定義一個隨機變量，求其分布律和分布函數(shù) 。 有 F (x )的圖形可知是階梯形曲線，故 F (x )是離散型隨機變量的分布函數(shù)； （ 2）由于 F (x )在 上單調下降，故不是隨 機變量的分布函數(shù) .但只要將中的 п 改為， п/2 就滿足單調不減右連續(xù)，且 ，這時就是隨機變量的分布函數(shù) .由 F (x ) 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 11/42 可求得 。 例題解析 【例 1】分析下列函數(shù)是否是分布函數(shù) .若是分布函數(shù)，判斷是哪類隨機變量的分布函數(shù) . （ 1） ；（ 2） ； （ 3） 分析 ：可根據(jù)分布函數(shù)的定義及性質進行判斷 。 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計算 F (x )時， X =x 點的概率是否計算在內 。 分布函數(shù) F (x )的連續(xù)性 定義左連續(xù)或右連續(xù)只是一種習慣 。 疑難分析 隨機變量與普通函數(shù) 隨機變量是定義在隨機試驗的樣本空間 Ω上 ，對試驗的每一個可能結果 ，都有唯一的實數(shù) X (ω)與之對應 。 一般正態(tài)分布 X ～ N (μ,σ2 )的分布函數(shù) F (x )與標準正態(tài)分布的分布函數(shù) Φ(x)有關系：。 這時分別用 φ(x)和 Φ(x)表示 X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即 。 分布函數(shù)完整地描述了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，具有以下性質： （ 1） 0≤F (x)≤1 ∞﹤ x ﹤ +∞)； （ 2）如果 X1 ﹤ X2，則； （ 3） F (x )為右連續(xù)，即 ； （ 4） （ 5） 離散型隨機變量及其概率分布 如果隨機變量 X 只能取有限個或可列個可能值，則稱 X 為離散型隨機變量 .如果 X 的一切可能值為 ，并且 X 取 Xk的概率為 PK，則稱 為離散型隨機變量的概率函數(shù)（概率分布或分布律） .列成表 格形式，也稱為分布列 (表 21)： 表 21 其中， 常見的離散型隨機變量的分布有 ： （ 1） 01 分布，記為 X ～ (0～ 1)， 概率函數(shù)： （ 2）二項分布，記為 X ～ B(n,p)，概率函數(shù)： （ 3）泊松分布，記為 X ～ P(λ )，概率函數(shù)： 泊松定理設 λ﹥ 0 是一常數(shù)， n 是任意正整數(shù)，設 ，則對于任一固定的非負整數(shù) k， 有 . 當 n 很大且 p 很小時，二項分布可以用泊松分布近似代替，即 ，其中 . （ 4）超幾何分布，記為 X ～ H (n,M ,N )，概率函數(shù) ，其中 為正整數(shù)，且 . 當 N 很大 ，且 較小時，有 （ 5）幾何分布，記為 X ～ G(p)，概率函數(shù) 連續(xù)型隨機變量及其概率分布 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 9/42 如果對于隨機變量 X 的分布函數(shù) F (x )，存在非負函數(shù) f (x) ，使對于任一實數(shù) x ，有，則稱 X 為連續(xù)型隨機變量 .函數(shù) f (x)稱為 X 的概率密度函數(shù) 。 隨機變量通常用大寫字母X、 Y、 Z 等表示 。 解 ：設 A 表示事件 “設備開動 ”， X 表示 “同時開動的設備數(shù) ”，則由二項概率公式得： ，同時開動不超過 5 臺的概率： 故該天這 10 臺設備能正常運作的概率為 。 解 ：各臺機床需要照看的事件是相互獨立的，而三臺機床至多有一臺需要照看的事件 D 可寫成：，則由加法公式與獨立性性質得： 。 求 1 小時內三臺機床至多有一臺需要照看的概率 。 以上結果表明，這只次品來自第二家工廠的可能性最大 。 解 ：設 A 表示 “取到的是一只次品 ”， 表示 “所取到的產品是由第 i 家工廠提供的 ”。 一般地，當直接計算某一事件 A 的概率 P(A)比較困難，而 比較容易計算，且 時 ，可考慮用全概率公式計算 。 （ 2）在倉庫中隨機地 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 7/42 取一只晶體管，若已知取到的是次品，為 分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產的概率分別是多少 .試求這些概率 。 表 11 設 這三家工廠的產品在倉庫中均勻混合的， 且無區(qū)別的標志 。 分析 ：在已知 “至少有一個是女孩 ”的條件下求 “至少有一個是男孩 ”的概率，所以是條件概率問題 。 分析 ：這是一個幾何概率問題，通?？山柚鷰缀紊系亩攘浚ㄩL度、面積、體積或容積等）來合理地規(guī)定其概率 。 解 ：樣本空間中所含的樣本點數(shù)為 Nn （ 1）該事件所含的樣本點數(shù)是 n!，故： ； （ 2）在 N個盒子中選 n個盒子有 CnN種選法，故所求事件的概率為： 6/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 （ 3）從 n 個球中取 m 個有 種選法，剩下的個球中的每一個球都有 N1種放法，故所求事件的概率為： n。 每個球都有 N 種放法， n 個球共有 N n 種不同的放法 。 【例 2】設 A、 B、 C 為三個事件，用 A、 B、 C 的運算關系表示下列各事件： （ 1）僅 A 發(fā)生； （ 2） A 與 C 都發(fā)生，而 B 不發(fā)生； （ 3）所有三個事件都不發(fā)生；（ 4）至少有一個事件發(fā)生； （ 5）至多有兩個事件發(fā)生； （ 6）至少有兩個事件發(fā)生； （ 7）恰有兩個事件發(fā)生； （ 8）恰有一個事件發(fā)生 . 分析：利用事件的運算關系及性質來描述事件 解 ：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 或 ；（ 4） 或