【正文】 ；（ 5） 或 ； （ 6） 或 ； （ 7） ；（ 8） . 【例 3】把 n 個不同的球隨機地放入 N (N ≥n)個盒子中，求下列事件的概率： （ 1）某指定的 n 個盒子中各有一個球； （ 2）任意 n 個盒子中各有一個球； （ 3）指定的某個盒子中恰有 m(m ﹤ n)個球 。 若用（甲、乙）表示 “a 球放入甲盒， b 球放入乙盒 ”這一樣本點，其余類似 。 （ 3）在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中可重復(fù)地抽取 兩個數(shù)，共有 42=16 種可能，若用 (i, j )表示 “第一次取數(shù) i ，第二次取數(shù) j ”這一樣本點，則樣本空間為： ；其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的事件為： {（ 1,2） ,（ 2,1） ,（ 2,4） ,（ 4,2） }。 則樣本空間為： Ω={1， 2， 3， 4， 5， 6}，出現(xiàn)奇數(shù)點的事件為： {1， 3， 5}。 分析 ：可對照集合的概念來理解樣本空間和樣本點：樣本空間可指全集，樣本點是元素，事件 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導(dǎo)手冊 5/42 則是包含在全集中的子集 。 （ 3）在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍 。 例題解析 【例 1】寫出下列隨 機試驗的樣本空間及下列事件包含的樣本點： （ 1）擲一棵骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點 。 問題 ： （ 1）求的就是一個積事件概率的問題，而問題（ 2）求的就是一個條件概率的問題 . 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡單地看作這諸多事件之和時，可考慮用全概率公式，在對樣本空間進行劃分時，一定要注意它必須滿足的兩個條件 。 條件概率 P(A |B)與積事件概率 P(AB) 圖 P(AB)是在樣本空間 Ω內(nèi)，事件 AB 的概率，而 P(A |B)是在試驗 E 增加了新條件 B 發(fā)生后的縮減的樣本空間 ΩB 中計算事件 A的概率 .雖然 A、 B都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說來，當(dāng) A 、 B 同時發(fā)生時，常用 P(AB)，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時，用 P(A |B) 。 兩事件獨立與兩事件互斥 兩事件 A 、 B 獨立，則 A 與 B 中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關(guān)，這時 P(AB) =P(A)P(B)；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時 AB =Φ,P(AB)=0 。 它們都不具有隨機性，是確定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機事件 。 （ 4） En中成功 k 次的概率是： ， 其中 .p+q =1。 （ 2）把 E 重復(fù)獨立地進行 n 次，所得的試驗稱為 n 重貝努里試驗，記為 En n （ 3）把 E 重復(fù)獨立地進行可列多次，所得的試驗稱為可列重貝努里試驗，記為 E∞ 。 貝努里 (Bernoulli)概型 （ 1）只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為貝努里試驗，常記為 E 。 事件的獨立性 （ 1）兩事件的獨立 ：設(shè) (Ω,F ,P) 為一概率空間，事件 A、 B ∈ F ，且 P(A )≥0 ，若 P(B)≥P(B |A)，則稱事件 A與 B相互獨立；等價于： P(AB)=P(A)P(B) 。 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 （ 1）全概率公式 ：設(shè) 是 Ω的一個劃分，且 ，則對任何事件 B∈ F，有 ，稱為全概率公式 。 （ 6）可分性 ：對任意兩事件件 A、 B ，有 條件概率與乘法公式 （ 1）條件概率 ：設(shè) A、 B 是 Ω中的兩個事件，即 A、 B ∈ F ，則 稱為事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的條件概率 。 （ 4）互補性 ： ，且 P(A )≤1。 概率的基本性質(zhì) （ 1）不可能事件概率零 ： P(Φ)＝ 0。 （ 4）幾何概率 ：若試驗基本事件數(shù)無限，隨機點落在某區(qū)域 g 的概率與區(qū)域 g 的測度 (長度、面積、體積等 )成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則試驗對應(yīng)幾何概型， “在區(qū)域 Ω中隨機地取一點落在區(qū)域 g 中 ”這一事件 Ag 發(fā)生的概率為： 。 當(dāng) n 很大時， 稱為事件 A的統(tǒng)計概率。 （ 5）互不相容性 ： ； A、 B 互為對立事件 且 AB 。 （ 3）積事件（交） ： “ 事件 A與 B同時發(fā)生 ”，記為 A∩B 或 AB。 事件的關(guān)系與運算 （ 1）包含關(guān)系與相等 ： “事件 A發(fā)生必導(dǎo)致 B發(fā)生 ”，記為 或 ； 且 。 （ 2）樣本空間 ：隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間，記為 Ω；試驗的每一個可能結(jié)果，即 Ω中的元素，稱為樣本點，記為 e。疑難分析 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導(dǎo)手冊 1/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》 輔導(dǎo)手冊 內(nèi)容提要 例題解析 目 錄 第一章隨機事件及其概率 .................................... 1 第二章隨機變量及其分布 ................................ . 7 第三章多維隨機變量及其分布 ............................ 13 第四章隨機變量的數(shù)字特征 ............................... 19 第五章大數(shù)定律和中心極限定理 ......................... 24 第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 ............................... 26 第七章參數(shù)估計 ............................................. 29 第八章假設(shè)檢驗 ............................................. 33 第九章方差分析和回歸分析 ............................... 36 2/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導(dǎo)手冊 第一 章 隨機事件及其概率 內(nèi)容提要 隨機試驗、樣本空間與隨機事件 （ 1）隨機試驗 ：具有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗，記為 E. 1） 試驗可在相同的條件下重復(fù)進行； 2） 每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，但試驗之前可確知試驗的所有可能結(jié)果； 3） 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn) 。 （ 3）隨機事件 ：在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事件，簡稱事件，常用 A、B、 C 等大寫字母表示；可表述為樣本空間中樣本點的某個集合，分為復(fù)合事件和簡單事件，還有必然事件（記為 Ω）和不可能事件（記為 φ） 。 （ 2）和事件（并） ： “事件 A與 B至少有一個發(fā)生 ”，記為 A∪ B。 （ 4）差事件、對立事件 (余事件 )： “事件 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生 ”，記為 A－ B 稱為 A 與 B 的差事件； 稱為 B 的對立事件；易知： 。 （ 6）事件的運算法則 ： 1) 交換律： ； 2) 結(jié)合律 ： ； 3) 分配律 ： ； 4) 對偶 (De Man) 律 ： ， ， 可推廣 頻率與概率 （ 1）頻率的定義 ：事件 A 在 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn)次，則比值 稱為事件在次重復(fù) A 在 n 次重復(fù) 試驗中出現(xiàn)的頻率，記為 ，即 . （ 2）統(tǒng)計概率 ：當(dāng) n→∞ 時，頻率 。 （ 3）古典概率 ：若試驗的基本事件數(shù)為有限個，且每個事件發(fā)生的可能性相等，則試驗對應(yīng)古典概型（等可能概型），事件 A 發(fā) 生的概率為： 。 （ 5）概率的公理化定義 ：設(shè) (Ω,F )為可測空間，在事件域 F 上定義一個實值函數(shù) P(A ),A ∈ F ，滿足： 1) 非負性： P(A)≥0，對任意 A ∈ F ； 2) 規(guī)范性： P(Ω)=1； 3) 可列可加性：若有一列 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導(dǎo)手冊 3/42 ，使得 ， 則稱 為 σ 域 F 上的概率測度，簡稱 “概率 ”。 （ 2）有限可加性 ：設(shè) 是 n 個兩兩互不相容的事件，即 ， 則有 （ 3）單調(diào)不減性 ：若事件 ，則 ，且 P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)。 （ 5）加法公式 ：對任意兩事件 A、 B ，有 ；此性質(zhì)可推廣到任意 n 個事件 的情形。 （ 2）乘法公式 ：設(shè) ，則 稱為事件 A、 B 的概率乘法公式 。 （ 2）貝葉斯 (Bayes)公式 ：設(shè) 是 Ω 的一個劃分，且 ， 則對任何事件 B ∈ F ，有 , ，稱為貝葉斯公式或逆概率公式 。 （ 2）多個事件的獨立 ：設(shè) 是 n 個事件，如果對任意的 k (1﹤ k ≤n)，任意的 ， 具有等式 ，稱 n 個事件4/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導(dǎo)手冊 相互獨立 。 E 也叫做 “成功 —失敗 ”試驗 ,“成功 ”的概率常用 p =P(A)表示，其中 A ＝ “成功 ”。 以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里 概型 。 疑難分析 必然事件與不可能事件 必然事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件 。 互逆事件與互斥事件 如果兩個事件 A 與 B 必有一個事件發(fā)生，且至多有一個事件發(fā)生，則 A 、 B 為互逆事件；如果兩個事件 A 與 B 不能同時發(fā)生，則 A 、 B 為互斥事件 .因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆 .區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個事件 時，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個事件的情形 .作為互斥事件在一次試驗中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個且只發(fā)生一個 。 可以用圖形作一直觀解釋 .在圖 左邊的正方形中， P(AB)=1/4， 1 P（ A） =1/2= P（ B） 表示樣本空間 中 兩事件的獨立關(guān)系，而在右邊的正方形中， P(AB)=0， 表示樣本空間中兩事件的互斥關(guān)系 。 如袋中有 9 個白球 1 個紅球，作 不放回抽樣，每次任取一球，取 2 次，求：（ 1）第二次才取到白球的概 率；（ 2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率 。貝葉斯公式用于試驗結(jié)果已知，追查是何種原因（情況、條件）下引發(fā)的概率 。 （ 2）投擲一枚均勻硬幣兩次： 1）第一次出現(xiàn)正面； 2）兩次出現(xiàn)同一面； 3）至少有一次出現(xiàn)正面 。 （ 4）將 a,b 兩只球隨機地放到 3 個盒子中去，第一個盒子中至少有一個球 。 解 ： (1) 擲一棵骰子，有六種可能結(jié)果，如果用 “1”表示 “出現(xiàn) 1 點 ”這個樣 本點，其余類似 。 （ 2）投擲一枚均勻硬幣兩次，其結(jié)果有四種可能，若用（正，反）表示 “第一次出現(xiàn)正面，第二次出現(xiàn)反面 ”這一樣本點，其余類似 .則樣本空間為： Ω={（正 ,正） ,（正 ,反） ,（反 ,正） ,（反 ,反） }，用 A、 B、 C 分別表示上述事件 1）、 2）、 3），則事件 A ={（正 ,正） ,（正 ,反） }；事件 B ={（正 ,正），（反 ,反） }；事件 C ={（正 ,正） ,（正 ,反） ,（反 ,正） }。 (4)三個盒子分別記為甲、乙、丙，將 a,b 兩只球隨機地放到 3 個盒子中去共有九種結(jié)果 。 則樣本空間為： Ω={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙） }；第一個盒子中至 少有一個球的事件為： {（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲） }。 分析 ：這是古典概率的一個典型問題，許多古典概率的計算問題都可歸結(jié)為這一類型 。 “某指定的 n 個盒子中各有一個球 ”相當(dāng)于 n 個球在 n 個盒子中的全排列；與（ 1）相比，（ 2）相當(dāng)于先在 N 個盒子中選 n 個盒子，再放球；（ 3）相當(dāng)于先從 n 個球中取 m 個放入某指定的盒中，再把剩下的 n m 個球放入 N 個盒中 。 【例 4】隨機地向由 0﹤ y ﹤ |x |﹤ 1/2所圍成的正方形內(nèi)擲一點，點落在該正方形內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點和該點的連線與 x 軸正向的夾角小于 3/4 的概率 。