【正文】 3） 總體試驗誤差平方和 SE 由兩部分構(gòu)成：第一類誤差 ， 即空列誤差 SE1 ； 第二類誤差即重復試驗誤差 SE2。 重復試驗的方差分析 重復試驗就是對每個試驗號重復多次 ， 這樣能很好地估計試驗誤差 ， 它的方差分析與無重復試驗基本相同 。據(jù)經(jīng)驗知，海鷗牌比 OP牌的效果好，故虛擬第 2水平（海鷗牌）安排在第 1列，因素 B、 A、 D依次安排在第 2， 3， 4列，表已排滿，進行試驗，測試結(jié)果列于 表 442右邊。要考慮的因素及其水平如 表 441所示?？疾熘笜耸撬嵯磿r間。 例 鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。 方差計算與分析列于 表 440。試安排試驗 ， 并進行方差分析 ， 找出最好的方案 。 說明：誤差平方和 SE SE＝ ST－ (S因 ＋ S交 ) 還可以用另一種算法計算 SE SE＝ S空列 ＝ S7列 ＝ 方差分析見 表 436。試安排試驗，并用方差分析對試驗結(jié)果進行分析，找出最好的方案。每兩個因素之間都有交互作用，必須考慮。 2水平正交設計，各因素離差平方和為： 21212 11 ???????? ????nkkii xnKaS 因:,21,21 21所以上式可以簡化為又因為 ?????? nk kKKxnaan? ? 2211 KKnS ??因上式同樣適用于交互作用項。 計算結(jié)果見 表 43表 434所示 。為了消除項的影響，引入平均離差平方和： 因因因素的平均離差平方和fS?EEfS?方和試驗誤差的平均離差平見表 433 求 F 比 ?對結(jié)果影響程度的大小大小反映了各因素試驗因因EEfSfSF ?對因素進行顯著性檢驗 給出檢驗水平 a， 以 Fa（ f因 ， fE） 查（附表 3） F分布表； 比較若 F ＞ Fa（ f因 ， fE）， 說明該因素對試驗結(jié)果的影響顯著。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。 用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。 （ 2）各因素離差的平方和 以因素 A為例 —— SA， 用 xij 表示 A的系 i 水平第 j 個試驗結(jié)果（ i＝ 1， 2， 3， …n a），（ j＝ 1…a ）。 計算離差平方和 （ 1）總離差平方和 ST 記 ???nkkxnx11 （相當于例 ） ? ? ?? ? ????????????? nknknkkkkT xnxxxS1 12122 1)(記為： PQSTT ?????nkkT xQ12211????????? ??nkkxnP ST反應了試驗結(jié)果的總差異，它越大，結(jié)果之間差異越大。 共有 9列 ， 選用正交表 L27（ 313） ， 見 表 432所示 ?？紤]因素之間的所有一級交互作用，試進行方差分析，找出最好的工藝條件。 則 n = a na， 現(xiàn)分析下面幾個問題 。 正交試驗設計方差分析的步驟與格式 設用正交表安排 m個因素的試驗 ， 試驗總次數(shù)為 n， 試驗結(jié)果分別為 x1， x2， … ， xn。 列號行號1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 24 5 6 71 2 3表 424 L8（ 27） 正交表 列號行號1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 2 1 2 1 26 2 2 1 2 17 1 1 2 2 18 1 2 1 1 23 4 5 6 7列號行號1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 23 2 2 1 1 2 24 2 2 2 2 1 15 3 2 1 2 1 26 3 2 2 1 2 17 4 1 1 2 2 18 4 1 2 1 1 21 3 4 5 6 7列號行號1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 3 1 2 1 26 3 2 1 2 17 4 1 2 2 18 4 2 1 1 21 4 5 6 71 1 1 12 2 2 21 1 2 22 2 1 11 2 1 22 1 2 11 2 2 12 1 1 24 5 6 74 52 3其它正交表的構(gòu)造法，與此法相同，不再贅述。交互作用。 （ 2） 取出 表 424中的 1， 2列 ， 將數(shù)對 （ 1， 1） 、 （ 1， 2） 、 （ 2， 1） 、 （ 2， 2） 與單數(shù)字 1， 2， 3， 4依次對應 ， 作為 新表第 1列 。 例 混合型正交表 L8（ 4 24） 的構(gòu)造法。 3 4 5 1 21 1 12 1 23 1 34 1 45 2 16 2 27 2 38 2 49 3 110 3 211 3 312 3 413 4 114 4 215 4 316 4 4這兩列叫做基本列這兩列叫做基本列123421433412432112343412432121431234432121433412配 上 三 個 正 交 拉 丁 方 混合型正交表的構(gòu)造法 混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過“并列法”改造而成。 4水平正交表 ① 因素 A、 B兩個 4水平的全排列 42＝ 16個，構(gòu)成 基本列 ； ② 三個正交拉丁方，按 1， 2， 3， 4列分別按順序排成 1列，共 3列，放在基本列右則，得 5列 16行矩陣。比如 3 階拉丁方可寫為： 213132321132213321與 為正交拉丁方。 四階正交拉丁方 ABCDBADCCDABDCBABADCCDABABCDDCBA與 4階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 3個； 5階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 4個； 6階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 5個； 數(shù)學上已經(jīng)證明： n 階拉丁方的正交拉丁方個數(shù)為：（ n－ 1） 個 。 BACACBCBAACBBACCBA3階拉丁方 與 是正交拉丁方。 、拉丁方 感性趣 正交拉丁方。 拉丁方 定義：用 n 個不同的拉丁字母排成一個 n 階方陣 （ n≤26） ， 如 果每個字母在任一行 、 任一列中只出現(xiàn)一次 ， 則稱這種方 陣為 n n 拉丁方，簡稱為 n 階拉丁方。 總結(jié)：先取一個標準阿陣 Hn ， 去掉全 1列 ， 將－ 1 列改寫為 2， 配上列號、行號，就得正交表 Ln（ 2n－ 1）。 （ 1） L4（ 23） 正交表的構(gòu)造 ① 取標準阿陣 H4 如下： ???????????????????11111111111111114H② 將全 1列去掉，得出： ??????????????????11111111111 2個水平正交表的阿達瑪矩陣法 ③ 將－ 1 改寫為 2，按順序配上列號、行號，就得到 2水平正交表 L4（ 23）， 見 表 420所示。比如： ?????? ??????? ??????????????? 1111,1111,1111,1111都是 2 階阿陣 H2， 但我們最感興趣的是第一個 —— 標準阿陣 。 定理 2 兩個阿陣的直積是一個高階阿陣 。例如： ???????????????????????????1111111111111111,111142 HH直積構(gòu)造高階阿陣的方法： 定義：設兩個 2階方陣 A、 B ??????????????2221121122211211 ,bbbbBaaaaA它們直積記為 A?B， 定義如下： ??????????????????????BaBaBaBabbbbaaaaBA22211211222112112221121阿達瑪矩陣 ?????????????2222212222212121122211221221112122122112221121111212111212111111babababababababababababababababa這是一個 4階方陣。 、阿達瑪矩陣 n 階阿陣記為 Hn。 標準阿陣：第一列全為 1列（用對行乘－ 1可得）。 阿達瑪矩陣法 阿達瑪矩陣 阿陣 定義：以 ＋ 1， － 1為元素 ， 并且任意兩列都是正交的矩陣 。 正交表的構(gòu)造法 從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。 整個分析過程記錄在表 419中 。 按這種安排進行試驗 。 若將 A、 B放在第 2列 ， 從 表417查出 A B應在第 3列 ， 因此 C就不能放在第 3列 ， 否則就要和A B混雜 。 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7) 表 4— 17 列號（ ） 列號 例如，從左向右看，第 3 列與第 5 列的交互作用在第 6列例如，第 4 列與第 列的交互作用在第 3 列第 5 列與第 6 列的交互作用在第 3 列例 解 這是 3因素 2水平的試驗 。試驗指標為產(chǎn)量，越高越好。 水平數(shù)相同的有交互作用的正交設計 例 某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于 3個因素 A、 B、 C， 每個因素都有兩個水平，具體數(shù)值如 表 418所示。 交互作用表 對于 2 因素 3水平 ， fA＝ fB＝ 3－ 1＝ 2， 每列有 2個自由度；而 fA B＝ fA fB ＝ 2 2＝ 4， 由于