【正文】 中。然而，在 3k設計中，采用數字記號，一是簡單，二是便于擴展到其它的因子設計系統(tǒng)中去。 這種符號系統(tǒng)本來在 2k設計中也能應用。 11 表示 A 、B 都在中水平，?。例如在 32設計中， 00 表示因素組合對應于 A 、B 都是低水平。 3k設計中的每一個因素組合用 k 個數字表示。 9 . 3 3k因子設計 現在討論 3k因子設計，這里有 k 個因子，每個因子有 3個水平。 表 9 － 8 例 9 － 2 方差分析表 方差來源 平方和 自由度 均方 F 因子 A 1 因子 B 1 因子 C 1 交互作用AB AC BC AB C 1 1 1 1 誤差 8 總和 T 15 給出 α ＝ ，查出 F0 . 0 1（ 1 ， 8 ）＝ 1 。 表 9 － 7 例 9 － 3 數據表 B （ j ） C (k) A （ i ） 10 － 3 － 1 － 1 0 － 1 0 1 1 12 0 1 2 1 2 3 6 5 解 ： 考慮因子水平每一種組合下兩次觀察值的和（ n ＝2 ），可得出： l ＝－ 3 ＋（－ 1 ）＝－ 4 c ＝－ 1 ＋ 0 ＝－ 1 b ＝－ 1 ＋ 0 ＝－ 1 bc ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 a ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1 ac ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3 ab ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 a bc ＝ 6 ＋ 5 ＝ 11 y…＝ 16 這里是 23設計，按照表 9 － 6 ，寫出各因子及交互作用的對照表達式，計算數值，并求出效果值。 共有 8 個不同的組合，每個組合測 2 個數值（碳酸鹽量），經處理后列于表 9 － 7 中。對 n 次重復試驗，任何一個效果 X ，其平方和為 nSX8(2對照）? （ 9 － 28 ） 例 9 － 3 在一種飲料的研制中，研究 3 個因子的效果，其中： 因子 A 為碳酸飽和百分比 /% ，有兩個水平： 10 、 12 ； 因子 B 為操作壓力 /105Pa ，有兩個水平： 、 ； 因子 C 為 線性速度 /m 與 22設計中的分析類似，可得出 23設計中的效果的 離差平方和。 B ＝ AB （ A 列 B 列＝ AB ） AB （ 4 ）任何兩列對應行符號相乘能得出表中的另一列的符號。 （ 2 ）任意兩列同行符號乘積之和為 0 ，這叫正交性。這樣就很容易得到各個因子的對照。比如 AB 列：由 A 列和 B 列同行的符號相乘得到 AB 列相應行的符號。對 3 個主要效果 A 、 B 、 C ，線性組合 中的系數符號有一個明顯的規(guī)律：高水平時為“＋”，低水平時為“－”。 表中所列 l 、 a 、 b 、 ab 、 c 、 ac 、 bc 、 a bc 為標準順序。 交互作用 B C 的總平均效果 BC 為 BC ＝nBC4( 對照） （ 9 － 24 ） （對照）BC＝acabcbalabcbc ??????? （ 9 － 25 ） 其中 4 項為“＋”，它們是 B 、 C 都在高水平的 bc 、 a bc 和B 、 C 都在低水平的 l 、 a ； 4 項為“－”，它們是 B 高 C 低的 b 、ab 和 B 低 C 高的 c 、 ac 。 交互作用 A B 的總平均效果 AB 是下面兩部分的平均： ① C 在低水平時， A 效果在 B 的兩個水平下的平均差，即 ? ?balabnnlanbab?????????? ???2121 ② C 在高水平時， A 效果在 B 的兩個水平下的平均差，即 ? ?bcacca b cnncacnbca b c?????????? ???2121 AB ＝21｛? ?balabn???21＋? ?bcaccabcn???21｝ 即 AB ＝? ?bcacbaclabcabn???????41 （ 9 － 19 ） 可記為 AB ＝nAB4( 對照） （ 9 － 20 ） （對照）AB＝bcacbaclabcab ??????? （ 9 － 21 ） （對照）AB由兩部分組成：（見圖 9 － 3 ） ① 前 4 項為“＋”，其 中兩項為 ab 、 a bc 是 A 、 B 都在高水平， 另 兩項為 l 、 c 是 A 、 B 都在低水平； ② 后 4 項為“－”，其中兩項為 a 、 ac 是 A 在高水平， B在低水平， 另 兩項為 b 、 bc 是 A 在低水平， B 在高水平。由此可將效果 A 寫成 nAA4( 對照）? （ 9 － 13 ） 其中 （對照）A＝bccbla b cacaba ??????? （ 9 － 14 ） 用與前面完全類似的方法，推出 因子 B 的效果 B 為 nBB4( 對照）? （ 9 － 15 ） （對照）B＝accala b cbcabb ??????? （ 9 － 16 ） 它也是由兩部分組成：前 4 項是圖 9 － 3 中立方體的后面（ B 在高水平），都取“＋”，后 4 項是立方體的前面（ B 在低水平），都取“－”。 按照與 22設計類似的原則和方法定出立方體各頂點的記號，見圖 9 － 3 。這里有主要效果 A 、 B 、 C ，兩兩交互作用的效果為 AB 、 AC 、BC ， 3 個因子交互作用的效果為 AB C 。 表 9 － 5 有下列性質： （ 1 ）除 I 列外，各列中“＋”號、“－”號個數相等； （ 2 ）任意兩列（包括 I 列）同行系數乘積之和為 0 ，這叫正交性 。 表 9 － 4 l a b a b 效果 A － 1 ＋ 1 － 1 ＋ 1 效果 B － 1 － 1 ＋ 1 ＋ 1 效果 AB ＋ 1 － 1 － 1 ＋ 1 如果我們引進符號 I 表示整個試驗的總和 ， 全用“＋”號，把 上表中的 “＋ 1 ”“－ 1 ”，簡寫為“＋”“－” （即僅取正、負號） ，并把行與列交換，這樣就得出一個完整的符號 表，如表9 － 5 ，稱為 22設計效果計算代數符號表。 下面介紹 22設計的符號規(guī)則。 所以，因子 A 、 B 對化學反應均有顯著影響， A 的影響更顯著，交互作用 A B 無顯著影響。 ? ? ?? ? ?????2121312. ..2322i j ki j kTyyS ＝ 282＋ 252＋?＋ 292－（ 330 ）2/12 ＝ SE＝ ST－ SA－ SB－ SAB ＝ － － － = 列方差分析表，見表 9 － 3 。 表 9 － 2 因子水平組合 i 觀察值（ n ＝ 3 ） yik 1 2 3 yi. 記號 Al Bl 28 25 27 80 l Ah Bl 36 32 32 100 a Al Bh 18 19 23 60 b Ah Bh 31 30 29 90 ab ∑ = 330 解 ： 由表 9 － 2 很容易求出 l ＝ 28 ＋ 25 ＋ 27 ＝ 80 a ＝ 36 ＋ 32 ＋ 32 ＝ 100 b ＝ 18 ＋ 19 ＋ 23 ＝ 60 ab ＝ 31 ＋ 30+ 29= 90 由此得 （對照 ）A＝ 90 ＋ 100 － 60 － 80 ＝ 50 （對照）B＝ 90 ＋ 60 － 100 － 80 ＝－ 30 （對照）AB＝ 90 ＋ 80 － 100 － 60 ＝ 10 因子 A 、 B 及其 交互作用 A B 的平均效果分別為（注意：n ＝ 3 ） 650(321＝＝對照）AA?? 630(321＝－－＝對照）BB?? 610(321＝＝對照）ABAB?? 再由（ 9 － 9 ） 、 （ 9 － 10