【正文】 當(dāng)溫度不變且壓強(qiáng)為原值的一半時(shí)，氮?dú)夥肿拥钠骄杂沙毯推骄鲎差l率.分析( 1 ) 氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均自由程，因此，溫度、壓強(qiáng)一定時(shí)，平均自由程.(2) 當(dāng)溫度不變時(shí)，平均自由程.解　(1) 由分析可知(2) 由分析可知氮?dú)夥肿拥钠骄杂沙淘趬簭?qiáng)降為原值的一半時(shí)，有而此時(shí)的分子平均碰撞頻率　　將T ＝293K，MN2 ＝10－2 kgs－1 的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)容器突然停止，其中氧氣的80％.分析　容器作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，容器內(nèi)分子除了相對(duì)容器作雜亂無(wú)章的熱運(yùn)動(dòng)外，(即機(jī)械能)為mv2/，當(dāng)容器突然停止后，80％，則有關(guān)系式：成立，可求壓強(qiáng)的增量.解　由分析知，其中m ，解得ΔT ＝ 10－2 K當(dāng)容器體積不變時(shí)，由pV ＝mRT/M 得12 －21　有N 個(gè)質(zhì)量均為m 的同種氣體分子，它們的速率分布如圖所示.(1) 說(shuō)明曲線與橫坐標(biāo)所包圍的面積的含義；(2) 由N 和求a 值；(3) 求在速率/2到3/2 間隔內(nèi)的分子數(shù)；(4) 求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能.分析　處理與氣體分子速率分布曲線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要理解分布函數(shù)的物理意義. ，題中縱坐標(biāo)，即處于速率v ，根據(jù)分布函數(shù)并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法(如函數(shù)求平均值或極值等)，即可求解本題.解　(1) 由于分子所允許的速率在0 到2 的范圍內(nèi)，由歸一化條件可知圖中曲線下的面積即曲線下面積表示系統(tǒng)分子總數(shù)N.(2 ) 從圖中可知， 在0 到區(qū)間內(nèi)，；而在0 到2 區(qū)間，.則利用歸一化條件有(3) 速率在/2到3/2間隔內(nèi)的分子數(shù)為(4) 分子速率平方的平均值按定義為故分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為12 －22　試用麥克斯韋分子速率分布定律導(dǎo)出方均根速率和最概然速率.分析　麥克斯韋分子速率分布函數(shù)為采用數(shù)學(xué)中對(duì)連續(xù)函數(shù)求自變量平均值的方法，求解分子速率平方的平均值，即， ，最概然速率是指麥克斯韋分子速率分布函數(shù)極大值所對(duì)應(yīng)的速率，因而可采用求函數(shù)極值的方法求得.解　(1) 根據(jù)分析可得分子的方均根速率為令，則有(2) 令，即得 12 －23　導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可看作類似于氣體分子的運(yùn)動(dòng)(故稱電子氣).設(shè)導(dǎo)體中共有N 個(gè)自由電子，其中電子的最大速率為vＦ (稱為費(fèi)米速率).電子在速率之間的概率為 (1)畫(huà)出分布函數(shù)圖；(2) 用N、vＦ 定出常數(shù)A；(3) 證明電子氣中電子的平均動(dòng)能，其中.分析　理解速率分布函數(shù)的物理意義， 因此根據(jù)題給條件可得的函數(shù)關(guān)系，由可以求出v2 ，從而求出.解　(1) 由題設(shè)可知，電子的速率分布函數(shù)，其分布函數(shù)圖如圖所示.(2) 利用分析中所述歸一化條件，有得(3) 12 －24　一飛機(jī)在地面時(shí)，機(jī)艙中的壓力計(jì)指示為， ℃.問(wèn)此時(shí)飛機(jī)距地面的高度為多少？( 10－2 kgs－1 Ⅰ、Ⅱ所處的溫度相同，故曲線Ⅰ，由可知，如果是同種氣體，當(dāng)溫度不同時(shí)，最概然速率vp ，vp Ⅱ?qū)?yīng)的vp 較大，因而代表氣體溫度較高狀態(tài).解　(1) 由分析知?dú)錃夥肿拥淖罡湃凰俾蕿槔肕O2 /MH2 ＝16 可得氧氣分子最概然速率為(2) 由得氣體溫度(3) Ⅱ代表氣體溫度較高狀態(tài).12 －15　 106K，.解　方均根速率平均動(dòng)能12 －16　 10－3m3 的容器中， 102J的剛性雙原子分子某理想氣體.(1) 求氣體的壓強(qiáng)；(2) 1022 個(gè)，求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體的溫度.分析　(1) 一定量理想氣體的內(nèi)能，對(duì)剛性雙原子分子而言，i＝ ＝mM RT 可解出氣體的壓強(qiáng).(2)求得壓強(qiáng)后，再依據(jù)題給數(shù)據(jù)可求得分子數(shù)密度，則由公式p ＝nkT .解　(1) 由和pV ＝mM RT 可得氣體壓強(qiáng)(2) 分子數(shù)密度n ＝N/V，則該氣體的溫度氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為12 －17溫度相同的氫氣和氧氣，10－21J，試求(1) 氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及溫度；(2) 氧氣分子的最概然速率.分析　(1) 理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，是溫度的單值函數(shù)，氧氣和氫氣在相同溫度下具有相同的平均平動(dòng)動(dòng)能，從而可以求出氧氣的溫度.(2) 知道溫度后再由最概然速率公式即可求解vp .解　(1) 由分析知氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為，則氧氣的溫度為：(2) 氧氣的摩爾質(zhì)量M ＝ 10－2 kg第四篇　氣體動(dòng)理論　熱力學(xué)基礎(chǔ)求解氣體動(dòng)理論和熱力學(xué)問(wèn)題的基本思路和方法熱運(yùn)動(dòng)包含氣體動(dòng)理論和熱力學(xué)基礎(chǔ)兩部分．氣體動(dòng)理論從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法研究氣體的熱現(xiàn)象，通過(guò)尋求宏觀量與微觀量之間的關(guān)系，闡明氣體的一些宏觀性質(zhì)和規(guī)律．而熱力學(xué)基礎(chǔ)是從宏觀角度通過(guò)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象研究熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律．在求解這兩章習(xí)題時(shí)要注意它們處理問(wèn)題方法的差異．氣體動(dòng)理論主要研究對(duì)象是理想氣體，求解這部分習(xí)題主要圍繞以下三個(gè)方面：(1) 理想氣體物態(tài)方程和能量均分定理的應(yīng)用；(2) 麥克斯韋速率分布率的應(yīng)用；(3)有關(guān)分子碰撞平均自由程和平均碰撞頻率．熱力學(xué)基礎(chǔ)方面的習(xí)題則是圍繞第一定律對(duì)理想氣體的四個(gè)特殊過(guò)程(三個(gè)等值過(guò)程和一個(gè)絕熱過(guò)程)和循環(huán)過(guò)程的應(yīng)用，以及計(jì)算熱力學(xué)過(guò)程的熵變，并用熵增定理判別過(guò)程的方向．1．近似計(jì)算的應(yīng)用一般氣體在溫度不太低、壓強(qiáng)不太大時(shí)，可近似當(dāng)作理想氣體，故理想氣體也是一個(gè)理想模型．氣體動(dòng)理論是以理想氣體為模型建立起來(lái)的，因此，氣體動(dòng)理論所述的定律、定理和公式只能在一定條件下使用．我們?cè)谇蠼鈿怏w動(dòng)理論中有關(guān)問(wèn)題時(shí)必須明確這一點(diǎn)．然而，這種從理想模型得出的結(jié)果在理論和實(shí)踐上是有意義的．例如理想氣體的內(nèi)能公式以及由此得出的理想氣體的摩爾定容熱容和摩爾定壓熱容都是近似公式，它們與在通常溫度下的實(shí)驗(yàn)值相差不大，因此，除了在低溫情況下以外，它們還都是可以使用的．在實(shí)際工作時(shí)如果要求精度較高，摩爾定容熱容和摩爾定壓熱容應(yīng)采用實(shí)驗(yàn)值．本書(shū)習(xí)題中有少數(shù)題給出了在某種條件下和的實(shí)驗(yàn)值就是這個(gè)道理．如習(xí)題中不給出實(shí)驗(yàn)值，可以采用近似的理論公式計(jì)算．2．熱力學(xué)第一定律解題過(guò)程及注意事項(xiàng)熱力學(xué)第一定律，其中功，內(nèi)能增量．本章習(xí)題主要是第一定律對(duì)理想氣體的四個(gè)特殊過(guò)程(等體、等壓、等溫、絕熱)以及由它們組成的循環(huán)過(guò)程的應(yīng)用．解題的主要過(guò)程：(1) 明確研究對(duì)象是什么氣體(單原子還是雙原子)，氣體的質(zhì)量或物質(zhì)的量是多少？ (２) 弄清系統(tǒng)經(jīng)歷的是些什么過(guò)程，并掌握這些過(guò)程的特征．(３) 畫(huà)出各過(guò)程相應(yīng)的p－V 圖．應(yīng)當(dāng)知道準(zhǔn)確作出熱力學(xué)過(guò)程的p －V 圖，可以給出一個(gè)比較清晰的物理圖像．(４) 根據(jù)各過(guò)程的方程和狀態(tài)方程確定各狀態(tài)的參量，由各過(guò)程的特點(diǎn)和熱力學(xué)第一定律就可計(jì)算出理想氣體在各過(guò)程中的功、內(nèi)能增量和吸放熱了．在計(jì)算中要注意Q 和W 的正、負(fù)取法．3．關(guān)于內(nèi)能的計(jì)算理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，是狀態(tài)量，與過(guò)程無(wú)關(guān)，而功和熱量是過(guò)程量，在兩個(gè)確定的初、末狀態(tài)之間經(jīng)歷不同的過(guò)程，功和熱量一般是不一樣的，但內(nèi)能的變化是相同的，且均等于．因此，對(duì)理想氣體來(lái)說(shuō)，不論其經(jīng)歷什么過(guò)程都可用上述公式計(jì)算內(nèi)能的增量．同樣，我們?cè)谟?jì)算某一系統(tǒng)熵變的時(shí)候，由于熵是狀態(tài)量，以無(wú)論在始、末狀態(tài)之間系統(tǒng)經(jīng)歷了什么過(guò)程，始、末兩個(gè)狀態(tài)間的熵變是相同的．所以，要計(jì)算始末兩狀態(tài)之間經(jīng)歷的不可逆過(guò)程的熵變，就可通過(guò)計(jì)算兩狀態(tài)之間可逆過(guò)程熵變來(lái)求得，就是這個(gè)道理．4．麥克斯韋速率分布律的應(yīng)用和分子碰撞的有關(guān)討論深刻理解麥克斯韋速率分布律的物理意義，掌握速率分布函數(shù)f(v)和三種統(tǒng)計(jì)速率公式及物理意義是求解這部分習(xí)題的關(guān)鍵．三種速率為，．注意它們的共同點(diǎn)都正比于，而在物理意義上和用途上又有區(qū)別．用于討論分子速率分布圖．用于討論分子的碰撞；用于討論分子的平均平動(dòng)動(dòng)能．解題中只要抓住這些特點(diǎn)就比較方便．根據(jù)教學(xué)基本要求，有關(guān)分子碰撞內(nèi)容的習(xí)題求解比較簡(jiǎn)單，往往只要記住平均碰撞頻率公式和平均自由程，甚至只要知道，及這種比值關(guān)系就可求解許多有關(guān)習(xí)題．第十二章　氣體動(dòng)理論12 －1　處于平衡狀態(tài)的一瓶氦氣和一瓶氮?dú)獾姆肿訑?shù)密度相同，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能也相同，則它們(　　)(A) 溫度，壓強(qiáng)均不相同　　(B) 溫度相同，但氦氣壓強(qiáng)大于氮?dú)獾膲簭?qiáng)(C) 溫度，壓強(qiáng)都相同 (D) 溫度相同，但氦氣壓強(qiáng)小于氮?dú)獾膲簭?qiáng)分析與解　理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，僅與溫度有關(guān)．因此當(dāng)氦氣和氮?dú)獾钠骄絼?dòng)動(dòng)能相同時(shí)，溫度也相同．又由物態(tài)方程，當(dāng)兩者分子數(shù)密度n 相同時(shí)，它們壓強(qiáng)也相同．故選(C)．12 －2　三個(gè)容器A、B、C 中裝有同種理想氣體，其分子數(shù)密度n 相同，方均根速率之比，則其壓強(qiáng)之比為(　　)(A) 1∶2∶4　　 (B) 1∶4∶8　(C) 1∶4∶16　　 (D) 4∶2∶1分析與解　分子的方均根速率為，因此對(duì)同種理想氣體有，又由物態(tài)方程，當(dāng)三個(gè)容器中分子數(shù)密度n 相同時(shí)，(C)．12 －3　在一個(gè)體積不變的容器中，儲(chǔ)有一定量的某種理想氣體，溫度為時(shí)，氣體分子的平均速率為，分子平均碰撞次數(shù)為，平均自由程為 ，當(dāng)氣體溫度升高為時(shí)，氣體分子的平均速率、平均碰撞頻率 和平均自由程分別為(　　)(A) 　(B) (C) (D) 分析與解　理想氣體分子的平均速率，溫度由 升至，則平均速率變?yōu)椋挥制骄鲎差l率，由于容器體積不變，即分子數(shù)密度n 不變，則平均碰撞頻率變?yōu)?；而平均自由程，n 不變，則珔λ也不變．因此正確答案為(B)．12 －4　已知n 為單位體積的分子數(shù)，為麥克斯韋速率分布函數(shù)，則表示(　　)(A) 速率v 附近，ｄv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)(B) 單位體積內(nèi)速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)(C) 速率v 附近，ｄv 區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率(D) 單位時(shí)間內(nèi)碰到單位器壁上，速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)分析與解　麥克斯韋速率分布函數(shù)，而，則有．即表示單位體積內(nèi)速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)．正確答案為(B)．12 －5　一打足氣的自行車內(nèi)胎，在時(shí)，輪胎中空氣的壓強(qiáng)為，則當(dāng)溫度變?yōu)闀r(shí)，輪胎內(nèi)空氣的壓強(qiáng) 為多少？(設(shè)內(nèi)胎容積不變)分析　胎內(nèi)空氣可視為一定量的理想氣體，其始末狀態(tài)均為平衡態(tài)，由于氣體的體積不變，由理想氣體物態(tài)方程可知，壓強(qiáng)p 與溫度T 成正比．由此即可求出末態(tài)的壓強(qiáng)．解　由分析可知，當(dāng)，輪胎內(nèi)空氣壓強(qiáng)為可見(jiàn)當(dāng)溫度升高時(shí)，輪胎內(nèi)氣體壓強(qiáng)變大，因此，夏季外出時(shí)自行車的車胎不宜充氣太足，以免爆胎．12 －6　有一個(gè)體積為的空氣泡由水面下深的湖底處(溫度為)升到湖面上來(lái)．若湖面的溫度為，求氣泡到達(dá)湖面的體積．(取大氣壓強(qiáng)為)分析　將氣泡看成是一定量的理想氣體，它位于湖底和上升至湖面代表兩個(gè)不同的平衡狀態(tài)．利用理想氣體物態(tài)方程即可求解本題．位于湖底時(shí)，氣泡內(nèi)的壓強(qiáng)可用公式求出， 其中ρ為水的密度( 常取)．解　設(shè)氣泡在湖底和湖面的狀態(tài)參量分別為(p1 ，V1 ，T1 )和(p2 ,V2 ，T2 )．由分析知湖底處壓強(qiáng)為，利用理想氣體的物態(tài)方程可得空氣泡到達(dá)湖面的體積為12 －7　氧氣瓶的容積為，其中氧氣的壓強(qiáng)為，氧氣廠規(guī)定壓強(qiáng)降到時(shí)，就應(yīng)重新充氣，以免經(jīng)常洗瓶．某小型吹玻璃車間，平均每天用去壓強(qiáng)為的氧氣，問(wèn)一瓶氧氣能用多少天？ (設(shè)使用過(guò)程中溫度不變)分析　由于使用條件的限制，瓶中氧氣不可能完全被使用．為此，可通過(guò)兩條不同的思路進(jìn)行分析和求解：(1) 從氧氣質(zhì)量的角度來(lái)分析．利用理想氣體物態(tài)方程可以分別計(jì)算出每天使用氧氣的質(zhì)量和可供使用的氧氣總質(zhì)量(即原瓶中氧氣的總質(zhì)量和需充氣時(shí)瓶中剩余氧氣的質(zhì)量之差)，從而可求得使用天數(shù)．(2) 從容積角度來(lái)分析．利用等溫膨脹條件將原瓶中氧氣由初態(tài)(, )膨脹到需充氣條件下的終態(tài)(， 待求)，比較可得狀態(tài)下實(shí)際使用掉的氧氣的體積為．同樣將每天使用的氧氣由初態(tài)(，)等溫壓縮到壓強(qiáng)為p2 的終態(tài)，并算出此時(shí)的體積V′2 ，由此可得使用天數(shù)應(yīng)為．解1　根據(jù)分析有則一瓶氧氣可用天數(shù)解2　根據(jù)分析中所述，由理想氣體物態(tài)方程得等溫膨脹后瓶?jī)?nèi)氧氣在壓強(qiáng)為時(shí)的體積為每天用去相同狀態(tài)的氧氣容積則瓶?jī)?nèi)氧氣可用天數(shù)為12 －8　設(shè)想太陽(yáng)是由氫原子組成的理想氣體，其密度可當(dāng)作是均勻的．若此理想氣體的壓強(qiáng)為．試估計(jì)太陽(yáng)的溫度．(已知?dú)湓拥馁|(zhì)量，太陽(yáng)半徑，太陽(yáng)質(zhì)量)分析　本題可直接運(yùn)用物態(tài)方程進(jìn)行計(jì)算．解　氫原子的數(shù)密度可表示為根據(jù)題給條件，由 可得太陽(yáng)的溫度為說(shuō)明　實(shí)際上太陽(yáng)結(jié)構(gòu)并非本題中所設(shè)想的理想化模型，因此，計(jì)算所得的太陽(yáng)溫度與實(shí)際的溫度相差較大．估算太陽(yáng)(或星體)表面溫度的幾種較實(shí)用的方法在教材第十五章有所介紹．12 －9　一容器內(nèi)儲(chǔ)有氧氣，其壓強(qiáng)為，溫度為27 ℃，求：(1)氣體分子的數(shù)密度；(2) 氧氣的密度；(3) 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；(4) 分子間的平均距離．(設(shè)分子間均勻等距排列)分析　在題中壓強(qiáng)和溫度的條件下，氧氣可視為理想氣體．因此，可由理想氣體的物態(tài)方程、密度的定義以及分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度的關(guān)系等求解．又因可將分子看成是均勻等距排列的，故每個(gè)分子占有的體積為，由數(shù)密度的含意可知，即可求出．解　(1) 單位體積分子數(shù)(2) 氧氣的密度(3) 氧氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能(4) 氧氣分子的平均距離通過(guò)對(duì)本題的求解，我們可以對(duì)通常狀態(tài)下理想氣體的分子數(shù)密度、平均平動(dòng)動(dòng)能、分子間平均距離等物理量的數(shù)量級(jí)有所了解．12 －10　10－2 kg 103 m3 的容器內(nèi)，105Pa時(shí)，氫氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為多大？分析　理想氣體的溫度是由分子的平均平動(dòng)動(dòng)能決定的，即．因此，根據(jù)題中給出的條件，通過(guò)物態(tài)方程pV ＝m/MRT，求出容器內(nèi)氫氣的溫度即可得．解　由分析知?dú)錃獾臏囟龋瑒t氫氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為12 －11　溫度為0 ℃和100 ℃時(shí)理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能各為多少？欲使分子的平均平動(dòng)動(dòng)能等于1eV，氣體的溫度需多高？解　分子在0℃和100 ℃時(shí)平均平動(dòng)動(dòng)能分別為由于1eV ＝10－19 J，因