定積分典型例題-文庫吧資料
2025-03-31 00:34本頁面
【正文】 所以．例11 函數(shù)的單調(diào)遞減開區(qū)間為_________．解 ，令得，解之得，即為所求．例12 求的極值點．解 由題意先求駐點．于是=．令=，得，．列表如下：＋－故為的極大值點，為極小值點．例13 已知兩曲線與在點處的切線相同，其中，試求該切線的方程并求極限．分析 兩曲線與在點處的切線相同，隱含條件，．解 由已知條件得，且由兩曲線在處切線斜率相同知．故所求切線方程為．而．例14 求 ； 分析 該極限屬于型未定式，可用洛必達法則．解 =====．注 此處利用等價無窮小替換和多次應(yīng)用洛必達法則．例15 試求正數(shù)與，使等式成立．分析 易見該極限屬于型的未定式，可用洛必達法則．解 ==，由此可知必有，得．又由 ，得．即，為所求．例16 設(shè)，則當(dāng)時，是的（ ）．A．等價無窮?。?B．同階但非等價的無窮小． C．高階無窮?。?D．低階無窮?。夥? 由于 ．故是同階但非等價的無窮?。xB．解法2 將展成的冪級數(shù)，再逐項積分，得到，則．例17 證明：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)增加，則有．證法1 令=，當(dāng)時，則 == =．故單調(diào)增加．即 ，又，所以，其中．從而=．證畢．證法2 由于單調(diào)增加，有，從而 ．即 ==．故 ．例18 計算． 分析 被積函數(shù)含有絕對值符號，應(yīng)先去掉絕對值符號然后再積分．解 ＝＝＝．注 在使用牛頓－萊布尼茲公式時,應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件．如，則是錯誤的．錯誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內(nèi)無界. 例19 計算．分析 被積函數(shù)在積分區(qū)間上實際是分段函數(shù)． 解 例20 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則．分析 本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）．解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且．所以，即，從而，所以 ．例21 設(shè)，求, 并討論的連續(xù)性．分析 由于是分段函數(shù), 故對也要分段討論．解 （1）求的表達式．的定義域為．當(dāng)時，, 因此．當(dāng)時，, 因此, 則==，故 ． (2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , ．因此, 在處連續(xù), 從而在上連續(xù)．錯誤解答 （1）求的表達式, 當(dāng)時，．當(dāng)時，有=．故由上可知．(2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , ．因此, 在處不連續(xù), 從而在上不連續(xù)．錯解分析 上述解法雖然注意到了是分段函數(shù)，但（1）中的解法是錯誤的，因為當(dāng)時，中的積分變量的取值范圍是，是分段函數(shù)，才正確．例22 計算．分析 由于積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性． 解 =．由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有, 于是===由定積分的幾何意義可知, 故 ．例23 計算．
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