全等三角形經(jīng)典題型——輔助線問題-文庫吧資料
2025-03-30 07:40本頁面
【正文】 是（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45176。∠DAM=∠DFE=30176?！螩DE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠MDB=60176?！螹DA=60176。 DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中， ∠MDN=∠EDN=60176。 ∵在△DMN和△DEN中，60176?！螦BD=90176?！螪CE=180176。+30176。從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；解：(圖形補(bǔ)全法, “截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”, 計(jì)算數(shù)值法) AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，在線段CF上取點(diǎn)E，使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120176。由于DM⊥DN，有∠EDN＝90176。解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接DC， D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90176。(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。AB+AC＝2AEAE＝（a+b）/2BE=(ab)/2應(yīng)用：如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF。 ∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC∠AOF=60度=∠COD?！螼AE=∠OAF.則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF。AD,CE均為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD。四、借助角平分線造全等如圖，已知在△ABC中，∠B=60176。解：有連接AC，過E作并AC于F點(diǎn)則可證為等邊三角形即，∴又∵，∴又∵∴在與中，∴∴∴點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證。＝∠ACP△ADP≌△ACP（ASA）故AD＝AC又∠QBC＝40176。求證：BQ+AQ=AB+BP解：（補(bǔ)短法, 計(jì)算數(shù)值法）延長(zhǎng)AB至D，使BD＝BP，連DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40176。故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC從而。AB＝AD+BC解：（截長(zhǎng)法）在AB上取點(diǎn)F，使AF＝AD，連FE△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180176。△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90176。4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．6) 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法構(gòu)造全等三角形．2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形．3) 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。：遇到等腰直角三角形，正
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