【正文】 。 二、理解頻率、波長(zhǎng)和波速等概念。 ? 利薩如圖形的應(yīng)用：利用利薩如圖形的花樣判斷二分振動(dòng)的頻率比，再由已知頻率測(cè)量未知頻率。 221 ??? ??)2c o s ( 21 ??? ??? tAx )c o s ( 22 ?? ?? tAy02 ????t2?? ?t222 Ayx ??62 ? 一般來(lái)說(shuō)，互相垂直的分振動(dòng)頻率不同的條件下，合振動(dòng)的軌跡不能形成穩(wěn)定的圖案。經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間后， 略大于 0 , y 將略小于 A2 為正，而 x為負(fù)，故質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第二象限，即質(zhì)點(diǎn)沿橢圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)。 ??? )12(12 ??? k)c o s ()(c o s)(c o s22212222122122???????????????tAAtAtAyxr61 （２） 相位差為 ?/2時(shí)， 表明：合振動(dòng)的軌跡為以 x和 y軸為軸的橢圓。 )c o s ()(c o s)(c o s22212222122122???????????????tAAtAtAyxr60 ② . 相位相反，即： ， k 為奇數(shù) ⑺ 則⑺式即為：合振動(dòng)的軌跡為過(guò)原點(diǎn)，且在二、四象限的直線(xiàn)。 )c o s ( 11 ?? ?? tAx )c o s ( 22 ?? ?? tAy)(s i n)c os (2 1221221222212???? ????? AA xyAyAx12 ?? ?58 （１）分振動(dòng)相位相同或相反時(shí) ① . 相位相同 , 即 討論 ： )(s i n)c os (2 1221221222212???? ????? AA xyAyAx??? n212 ??59 合振動(dòng)的軌跡為過(guò)原點(diǎn)且在一、三象限的直線(xiàn)。 1x t57 三 . 互相垂直相同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 二分振動(dòng)方程如下： 合成的振動(dòng)表示：質(zhì)點(diǎn)既沿 ox軸運(yùn)動(dòng)，又沿 oy軸運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上在 oxy平面上運(yùn)動(dòng)。 討論： 221 ?? ? 很小， 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫 拍頻 56 2x tx t1212 )2(212 ?????? ????所以，拍頻是振動(dòng) 的頻率的兩倍。 55 播放動(dòng)畫(huà) 振幅 tAtA 2c o s2)( 12?? ??， ,21 ?? ?振幅 A（ t） 隨時(shí)間 t緩慢地變化 “ 拍 ”現(xiàn)象，最大值為 2A。 由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其振動(dòng)表達(dá)式分別為： ]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA54 )c o s ()c o s ()( 21 ???? ???? tAtAtx]2 )(c o s [2 )(c o s2 1212 ????? ????? ttA21 ?? 與當(dāng) 都很大，且相差甚微時(shí)，可將 視為振幅變化部分，合成振動(dòng)是以 為角頻率的近似諧振動(dòng)。 若 0?A2A?A?1A?2A?A? 1A?1A?2A? A?|||| 2121 AAAAA ???? ,21 AA ?52 例： 兩同方向、同頻率諧振動(dòng) ,3c o s41 tx ?)3/3c o s (22 ??? tx 求：合成諧振動(dòng)方程。 21, AA?? A?51 )c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA ???? k212 ????時(shí) , ),2,1,0( ????k21 AA ??,21 AA ?合振動(dòng)振幅最大。 從 O點(diǎn)作兩個(gè)長(zhǎng)度分別為 AA2的矢量 ，它們?cè)?t=0時(shí)與 X軸的夾角分別為 ? ?2。 tAA ??? s i n)s i ns i n( 2211 ??由 得： ??? c o sc o sc o s 2211 AAA ????? s i ns i ns i n 2211 AAA ???50 xo2A1A1?2?A2A?)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA22112211c o sc o ss i ns i n?????AAAAa r c t g????利用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)也可得到相同的結(jié)果。 t x o A1 A1 A2 A2 x1 x2 T 同相 o x2 T x A1 A1 A2 A2 x1 t 反相 47 ? 超前和落后 若 ?? = ? 2? 10, 則 x2比 x1較早達(dá)到正最大 , 稱(chēng) x2比 x1超前 (或 x1比 x2落后 )。 解： 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 平衡時(shí)： 0?? Fmg浮力： VgF ??其中 V 為比重計(jì)的排水體積 0 mg F 40 222dd2 txmgxdVmg ????????????????? ??xmgdtx4dd 222 ????222dd2 txmxdgVgmg ????????? ???x 0 x mgd ???2? gmdT???? 42 ??41 例題 證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。試證明，比重計(jì)推動(dòng)后，在豎直方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 )(c o s 11 ?? ?? tAx)(c o s2 1?? ?? tAA 31 ??? ???? t0)(s in 1 ?? ?? t0)(s i n 11 ???? ??? tAu31 ??? ??t解： A A o A/2 A/2 38 322 ??? ???? t)c o s (2 2?? ??? tAA0)(s i n 2 ＜?? ?? t0)(s i n 22 ???? ??? tAu322 ??? ???t)()( 21 ????? ????? tt )32(3?? ??? ??x 3??32?39 例題 質(zhì)量為 m的比重計(jì)，放在密度為 ?的液體中。當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 1在 x1=A/2 處， 且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2在 x2= A/2 處，且向右運(yùn)動(dòng)。 3如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于 x=6cm，且向 x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。求振動(dòng)方程。 解： 22 kAJFSE ???? )( mA ??)/(2 sr admk ???依題意，有： 0, 00 ??? vAxxo彈Fx?? ??))(2c os ( SItx ????選取坐標(biāo)如圖， 設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為： ))(c os ( SItAx ?? ??32 例題 一質(zhì)點(diǎn)沿 x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為 12cm，周期為 2s。 （ 3）頻率一定時(shí)，諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方 成正比。 結(jié)論 ： 29 （ 1） 振子在振動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。 221 kA?o tkE pE E?諧振能量與振幅的平方成正比。 解： 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向 x軸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： o xyA??3?? ??3)3(0??? ?????所需的時(shí)間為： 622TTTt ??????????????26 彈簧的串并聯(lián) 1k x2k m,111 xkF ?? 222 xkF ??)( 21 xxkF ??? k為系統(tǒng)的勁度系數(shù)， 21 FFF ???????? ??2111kFkFkF Fkkk ?????? ??211121111kkk???21 kkk ??? 1k x2km21 xxx ??221121 xkxkFFkxF ?????27 四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 以水平的彈簧振子為例 ? 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的勢(shì)能： )(s i n21 0022 ?? ?? tkA? 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能： ),c os ()( ?? ?? tAtx mk /??xo A221 mvEk ?2)]si n ([21 ??? ??? tAm)(si n21 222 ??? ?? tmA221 kxEp ? )(c o s21 22 ?? ?? tkAo tkE pEEk 最大時(shí)， Ep最小， Ek 、 Ep交替變化。 解： （ 1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖和 vA=vB可知， 由此兩式解得： 1??tg,42 sT ? ),(8 sT ??42 ??? ??T0?t ?c Ax ???2?t )2c os ( ?? ???? Ax ?s inA??),( mA ?因?yàn)?A點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)速度大于零， 43?? ??振動(dòng)方程： ))(434c o s ( mtx ?? ??A??st 2?st 4?0?to xAB25 A點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)， 4/)434c o s ( ??? ??? tv（ 2）質(zhì)點(diǎn)在 A點(diǎn)處的速率 （ t=0） )/( smv ???例 .一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為 T。 解： )( mA ? ),/(2 sr a dT ??? ??3?? ??)c os ( ?? ?? tAx取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， o xyA??3?? ??由旋轉(zhuǎn)矢量法可得： ))(3c o s ( SItx ?? ???（ 2）由旋轉(zhuǎn)矢量法可知，質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)平衡位置時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度為： 設(shè) 652???? ????)( s