【正文】 ??pzpsszss nnns??????)2(1lim2220????而說明： 假設輸入為單位階躍函數(shù)，則化簡前后的穩(wěn)態(tài)值如下 自動控制原理 35 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 如果一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 主導極點在 c(t)中的對應項衰減最慢，系數(shù)最大，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標主要由它決定。 自動控制原理 [例如 ]： 為某高階系統(tǒng)的主導極點，則單位階躍響應近似為： dnnjjp ?????? ???????? 211112,1 1)s i nc o s()( 110 tteatc ddt ????? ??? ?利用主導極點的概念可以對高階系統(tǒng)的特性做近似的估計分析。有以下幾種情況： llja ?? , 存在一對離虛軸最近的共軛極點； 附近無零點； 其他極點距虛軸的距離是它的 5倍以上。 衰減慢且系數(shù)大的項在瞬態(tài)過程中起主導作用。所以，近極點對瞬態(tài)響應影響大。 nlljp ?? ,llja ?? ,? 對于閉環(huán)極點全部位于 s左半平面的高階系統(tǒng)（否則系統(tǒng)不穩(wěn)定），極點為實數(shù)（指數(shù)衰減項）和共軛復數(shù)（衰減正弦項）的衰減快慢取決于極點離虛軸的距離。 ??? 3p??3p?自動控制原理 0 5 10 1500 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4T i m e [ s e c ] ty單位階躍響應曲線 b = 0 . 5b = 1b = 2b = 4b = 1 0 0 0 0 0設定值自動控制原理 二、高階系統(tǒng)分析 高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： nmasasa bsbsbs nnnnmmmm ????????????? ,......)(011011寫成零極點形式： nmnnnsspszsksnjnlnlnlljmiig?????????? ??? ?? ,2,)2()()()( 211 12211 2???其單位階躍響應函數(shù)為： ???? ????????????2112221021)(1)()( nl nlnlllnllnlllnj jjssspsasasssC ?????????teteeaatclnltnlllnltnllnjtpjnllnllj2121101s i n1c o s)(221??????????????????????????可見， c(t)不僅與 （閉環(huán)極點）有關(guān)，而且與系數(shù) 有關(guān)（這些系數(shù)都與閉環(huán)零、極點有關(guān)）。第二個因素是阻尼系數(shù) ，同前。當 時，表示 離虛軸遠， 離虛軸近，系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由 決定，呈二階系統(tǒng)的特性。 321, AAAnnp?????3, ?tpnntnteAteAteAtcnn3322222111s i n1)1s i n (1)(???????????????????????????? 21 1 ?? ?tg式中： 自動控制原理 [分析 ]：三階系統(tǒng)的單位階躍響應由三部分組成：穩(wěn)態(tài)項，共軛復極點形成的振蕩分量，實極點構(gòu)成的衰減指數(shù)項分量。 st?自動控制原理 例 設系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，如要求系統(tǒng)具有性能指標 % 2 0 % , 1pp tsss= = =試確定系統(tǒng)參數(shù) K和 ?， 并計算單位階躍響應的特征量 td， tr和 ts ( 1)Kss1 s_ )( sR )( sC+ 自動控制原理 由圖知，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2()( ) ( 1 )C s KR s s K s Kt= + + +與傳遞函數(shù)標準形式比較，得 1,2nKwKKtz +==根據(jù) ?%和 ?的關(guān)系，可得 2l n( 1 / )0. 461(l n )ppszps==+自動控制原理 再有峰值時間，可以算出 2 3 . 5 3 ( / )1npw r a d stpz==從而得 221 2 . 4 6 ( / )nK w r a d s==21 0 . 1 8 ( )nw sKzt ==所以 0. 37 ( ) , 0. 65 ( ) , 2. 17 ( )d r st s t s t s= = =自動控制原理 ?例：如圖所示系統(tǒng)，施加 階躍力后，記錄其時間響應，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量 M、彈性系數(shù) k和粘性阻尼系數(shù) f的值。 )10( ?? ? ?注意到 只與 有關(guān)，所以一般根據(jù) 來選擇 。當 時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。 ~??7 0 ???自動控制原理 ?阻尼系數(shù) 是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。式中df ω2πt ?? ,fsttN由分析知，在 之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。 1C (t )0t s t39。 %)1tgs i n (1212D????????????te dtn211 ?????? tne自動控制原理 nst ??? %)1l n ( 2 D?????當 t=t’s時，有： %1 2D?????? sn te由于實際響應曲線的收斂速度比包絡線的收斂速度要快因此可用包絡線代替實際響應來估算調(diào)節(jié)時間。包絡線為 1C (t )0t s t39。 ? ?? ?c o s???????? 22 11)( ???????nntg?drt ??? ???)1(121?????? ?tgtdr??? ? ????? )1(21tg自動控制原理 ⒉ 峰值時間 ：當 時， pt ptt? 0)( ?ptc?0)c o s (1)s i n (1)(22??????????? ?? ????????? ????pddtpdtn tetetc pnpn?? ?????? tgttgndpd ?????21)(整理得： ,...)2,1,0(, ???? nnt pd ????0,)s i n(11)(2??????ttetc dtn???????? 21 1 ?? ?tg其中 0)c o s ()s i n ( ????? ??????? pddpdn tt自動控制原理 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10510152025t r tp由于 出現(xiàn)在第一次峰值時間，取 n=1，有： dnpt ????? ???21pt自動控制原理 ⒊ 最大超調(diào)量 ： %?%10 0)1)((%10 0)( )()(% ????? ??? pp tcc ctc?故： %100% 21 ?? ?? ???? em a x)()( ctctc p ?得將峰值時間 代入 21 ?????npt)s i n1( c o s1)(2m a x pnpdtp ttetcc pn ??????????? ?22 121 1)s i n1( c os1 ?????????? ???? ?????? ee自動控制原理 ??0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 10102030405060708090100?自動控制原理 ⒋ 調(diào)節(jié)時間 ： st可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達式是困難的。 ?1???0 2 4 6 8 1 0 1 200 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82? ? ?? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ?? ???ntC ( t )自動控制原理 ??? 21tg ???rd t（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程 ： )10( ?? ?0,)s i n1( c o s1)( 2 ????? ? tttetc ddtn ??????⒈ 上升時間 ：根據(jù)定義，當 時， 。 ( ) ( ) ( )C s G s R s??2221( 1 ) ( 1 )nn n n n sss?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 222112 ( 1 1 ) 2 ( 1 1 )111n n n ns ss? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1? ?自動控制原理 進行拉氏反變換 2221 ( 1 )12(() 1 1 )nct te ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ??2221 ( 1 )2 ( 1 1 )n te ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ?自動控制原理 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 40 . 60 . 811 . 2T i m e [ s e c ] ty單位階躍響應曲線 ? =2? =4? =6? =8設定值自動控制原理 零阻尼 （ ） 此時，二階系統(tǒng)的極點為一對共軛虛根，其傳遞函數(shù)可表示為 0? ?22 2 2 211( ) ( ) ( ) nnnsC s G s R sssss???? ? ? ? ? ???進行拉氏反變換可得 1 c s) o( nc tt ??? ( 0)t ?自動控制原理 系統(tǒng)響應曲線為無衰減的周期振蕩，振蕩頻率為 n?0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 400 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82T i m e [ s e c ] ty單位階躍響應曲線 ? =0設定值自動控制原理 負阻尼 （ ） 0? ?負阻尼的二階系統(tǒng)的發(fā)散振蕩響應 負阻尼二階系統(tǒng)的單調(diào)發(fā)散響應 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0