[理學]93三重積分及其計算-文庫吧資料
2025-01-25 14:36本頁面
【正文】 z y 0 ? r d? z 底面積 :rdrd? dz 平面 z+dz . 柱面坐標下的體積元素 元素區(qū)域由六個坐標面圍成 : 半平面 ?及 ?+d? 。 半徑為 r及 r+dr的園柱面 。 化三次積分的步驟 ⑴ 投影，得平面區(qū)域 ⑵ 穿越法定限，穿入點 —下限，穿出點 —上限 對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法 o x y z Dxy ?? ?? dvzyxf ),(例 1: 將三重積分 化成三次積分 , 其中 ? 為長方體 , 各邊界面平行于坐標面 . 解 : 將 ? 投影到 xoy面得 Dxy : c ? y ? d, a ? x ? b, a b c d (x,y) m l ???? dvzyxf ),(?? ?? xyD ml ddzzyxf ?]),([.),(???? mldcba dzzyxfdydx例 2: 計算 ,??? ? xd xdy dz平面 x+y+z=1所圍成的區(qū)域 . Dxy x y z o 其中 ? 是三個坐標面與 解 : 畫出 ? 在 xoy面上的投影 區(qū)域 Dxy: 0 ? y ? 1–x, 0 ? x ? 1, x+y+z=1 x+y=1 ??? ? xdxdy dz??? ???? yxx xdzdydx 101010?? ? ??? x dyyxx d x 1010 )1(.241?? ?? 10 2)1(21 dxxx例 3 化三重積分 ????? dx dy dzzyxfI ),( 為三 次積分，其中 積分區(qū)域 ? 為由曲面 22yxz ?? ,2xy ? , 1?y , 0?z 所圍 成的空間閉區(qū)域 . .11,1,0:222?????????xyxyxz? ??? ?? 1 1 01 222 ),(yxx dzzyxfdydxI .解 Dxy： 除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法也可計算三重積分 先重后單，就是先求關于某兩個變量的二重積分再求關于另一個變量的定積分 若 f(x,y,z) 在 上連續(xù) ?? 介于兩平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之間 用任一平行且介于此兩平面的平面去截 得區(qū)域 ?)(),( 21 czczD ??則 ② 先重后單 ??? ? ????21 )(),(),(cc zDdxdyzyxfdzdvzyxf 易見，若被積函數(shù)與 x , y 無關，或二重積分容易計算時，用截面法較為方便， ??)( zDd x d y 就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計算 尤其當 f ( x , y , z ) 與 x , y 無關時 截面法的一般步驟： ( 1 ) 把積分區(qū)域 ? 向某軸（例如 z 軸）投影，得投影區(qū)間 ],[21cc ； ( 2 ) 對 ],[21ccz ? 用過 z 軸且平行 xo y 平面的平面去截 ? ，得截面 zD 。167。 三重積分及其計算 一、三重積分的概念 設 ),( zyxf 是空間有界閉區(qū)域 ? 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 ? 任意分
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