數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文壓縮映射原理及其應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2025-01-22 17:00本頁(yè)面
【正文】 值問(wèn)題的解的各種存在唯一定理，利用壓縮映射原理，可以給出一種很簡(jiǎn)單的證明。證明 ： 問(wèn)題（10）等價(jià)于求解下面的積分方程我們?nèi)∈褂帽硎驹趨^(qū)間上的連續(xù)函數(shù)組成的空間，在中定義算子(映射)F:則因，由壓縮映射原理，存在唯一的連續(xù)函數(shù)y(x)，使由此可以看出，y(t)還是連續(xù)可微的，于是y=y(t)便是微分方程(10)通過(guò)的積分曲線。因此求解方程（8）就變成求映射T的不動(dòng)點(diǎn)。為了求解積分方程（9），我們可以根據(jù)f（x，y）所滿足解析條件適當(dāng)?shù)厝∫粋€(gè)度量空間，并在這個(gè)度量空間中作映射， 于是方程（9）的解就轉(zhuǎn)化為求使它滿足?，F(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程 (8) 為例來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。為了證明一個(gè)微分方程,積分方程或其它類型的方程存在解。證畢。如果另有，滿足，則。但G的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的，故F（即也是F的不動(dòng)點(diǎn)?，F(xiàn)設(shè)k。對(duì)任一自然數(shù)n，算子F的n次冪定義為:當(dāng)x時(shí)令如果已經(jīng)定義，則令 定理2 設(shè)算子F映閉集Q為自己且對(duì)某一自然數(shù)k算子為Q上的壓縮算子則F在Q中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)逼近序列（3）收斂于初始近似為任意。如果x即則。對(duì)于后者，如下列推論所述推論1設(shè)F為閉球上的壓縮算子，壓縮系數(shù)為q，R（F）且 （7）則F在中有唯一不動(dòng)點(diǎn)且序列（3）收斂于，收斂速度為式（4），初始近似可在中任取。證畢。即得再證的唯一性。利用(5)式可得到 即 （6）由此可知{}是柯西點(diǎn)列，由X的完備性知存在使得又因Q是閉集故現(xiàn)在證明是算子F的不動(dòng)點(diǎn)，由算子F在Q上的壓縮性知其在Q上連續(xù)。若為Q中任意一點(diǎn)，作序列 （3）則序列且。定理1(壓縮映射原理) 設(shè)算子F映
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1