【正文】 小空間范圍內(nèi)的局部問題，只要局部范圍被分割到無限小，小到這些局部問題可近似處理為簡單的可研究的問題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來，就是問題的結(jié)果。比如邊際替代率：邊際替代率的概念是這樣來定義的：為了維持原有的滿足程度不變，消費者為增加一單位商品 x而必須放棄的商品 y的數(shù)量。 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，在經(jīng)濟學(xué)中，也存在變化率的問題，因此我們可以把微觀經(jīng)濟學(xué)中的很多問題歸結(jié)到數(shù)學(xué)中來，用我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識加以研究并解決。 QL 單位。 QCQRQL ?? )( 039。39。 15 導(dǎo)數(shù)方法： 0?dQdTR 即 ??? QdQdT R 得 15?Q 所以 15?Q 時， TR 最大。 若價格 P 隨 Q的變化而改變 ,則 Q最大時總收益 TR和總利潤不一定取到最大值 ,并且收益最大時的產(chǎn)量不一定能產(chǎn)生最大的利潤 ,下面 ,運用導(dǎo)數(shù)對收益進行優(yōu)化分析。 QR 單位。 QRR ? 簡稱邊際收益， )( 039。 )( qqqCMC ???? 2 ??????mc 因此在生產(chǎn)水平為 10萬件時，每增加一個產(chǎn)品總成本增加 3元，遠低于當前的單位成本，從降低成本角度看，應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量 邊際收益函數(shù) 14 總收益函數(shù) R(Q)R? ， 平均收益函數(shù) RR )(? 邊際收益函數(shù) )(39。 QC 個 單位。)( 039。39。 pQ 單位。 pQ 稱為當價格為 0p 時的邊際供給。39。 pf 單位。 邊際需求與邊際供給 需求函數(shù) )(pfQ? 在點 p處可導(dǎo) (其中 Q為需求量， p為商品價格 )，則其邊際函數(shù)稱 )(pfQ? 為邊際需求函數(shù)，簡稱邊際需求， )( 039。經(jīng)濟學(xué)中的邊際經(jīng)濟變量都是用增加某一個經(jīng)濟變量一單位從而對另一個經(jīng)濟變量帶來的影響是多少，如邊際效用、邊際成、邊際收益、邊際利潤、邊際替代率等等。導(dǎo)數(shù)在引進經(jīng)濟學(xué)之后，對經(jīng)濟分析帶來了很大變革，可以定量分析很多以前沒辦法分析的經(jīng)濟問題。函數(shù) )(xfy? 在某一點 0x的導(dǎo)數(shù)表達式如下：若函數(shù) )(xfy? 在某區(qū)間內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱)(xfy? 在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，記 )(39。這些都是微積分在經(jīng)濟學(xué)中的廣泛應(yīng)用。在日 常經(jīng)濟活動中，積分的應(yīng)用也非常廣泛，比如求總 12 值（如總成本和總利潤等），包括其他變量時間累計的總量等。像一些復(fù)利問題，還有用極限方法解決彈性計算問題。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)可以為 大家解釋一些經(jīng)濟學(xué)函數(shù)圖像的走向問題，為何會出現(xiàn)此種走向等等。 解：利用對稱性 20 420 3 512dc oss i n12s i n22 22 atttataS ????? ???? ?? 4 微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 微積分在經(jīng)濟領(lǐng)域中的 應(yīng)用，主要是研究在這一領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關(guān)系，因此必須了解一些經(jīng)濟分析中常見的函數(shù)。 解：取坐標系，則圓的方程為 222 Ryx ?? ，垂直于 x 軸 的截面是直角三角形 ,其面積為 ?tan)(21)( 22 xRxA ?? )( RxR ??? ，利用對稱性 ? ? ??? tan3231tan2dtan)(212 3320 22 RxxRxxRV R ????? ? 求旋轉(zhuǎn)體的體積 當我們考慮到連續(xù)曲線段 )()( bxaxfy ??? 繞 x 軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體體積時 ,有 ?? ba dxxfV 2)]([?，當我們考慮到連續(xù)曲線段)()( dycyx ??? ? 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體體積時 ,有dyyV dc?? 2)]([?? 例 5：計算由橢圓 12222 ?? byax 所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積 . 解 ： 利 用 直 角 坐 標方程 )(22 axaxaaby ????? ，則20 20 222 34d)(2d2 2 abxxaabxyV a a ??? ???? ? ? 求 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 11 設(shè)平面光滑曲線 ],[)( 1 baCxfy ?? ，且 0)( ?xf ，求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .側(cè)面積元素 :位于 ]d,[ xxx ? 上的圓臺的側(cè)面積 xxfxfsyS d)(1)(2d2d 2???? ?? ，積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfS ba d)(1)(2 2??? ?? 注意：側(cè)面積元素 y d xsyS ?? 2d2d ?? ，因為 ydx?2 不是薄片側(cè)面積 S? 的線性主部。 定理 : 任意光滑曲線弧都是可求長的。在區(qū)間 ],[ ?? 上任取小區(qū)間 ]d,[ ??? ? ，則對應(yīng) 9 該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為 ? ? ??? d)(21d 2?A ，所求曲邊扇形的面積為 ????? d)(21 2??A 例 3. 計算阿基米德螺線 )0( ?? aar ? 對應(yīng) ? 從 0 變到 ?2 所圍圖形面積。 解 : 由??? ??22xy xy得 交 點 )1,1(,)0,0( ， ? ? xxxAA dd 210 ???? ? ? ?0133132 23 xx ?? 31? 例 2. 計算拋物線 xy 22 ? 與直線 4??xy 所圍圖形的面積。笛卡爾就這樣把相互對立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的一次飛躍，而且更重要的是它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊空間。此外，笛卡爾打破了表示體積 8 面積及長度的量之間不可相加減的束縛。他不僅用坐標表示點的位置，而且把點的坐標運用到曲線上。到了 17 世紀，有許多著名的數(shù)學(xué)家、天文 學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問題做了大量的研究工作。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。圓的面積就是無窮多的三角形面積之和，這些都可視為黃型極限思想的佳作。三國時期的高徽在 他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。公元前 3 世紀，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、 7 螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。北宋大科學(xué)家沈括的《夢溪筆談》獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會 圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。 微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是 16 世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。公元前 7 世紀老莊哲學(xué)中就有無限可 分性和極限思想；公元前 4世紀《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小、無窮大的定義和極限、瞬時等概念。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。 微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。 從 17 世紀開始，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化 著的量，數(shù)學(xué)進入了“變量數(shù)學(xué)”時代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。 如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于 1665 1676年間，但這些著作發(fā)表很遲。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀下半葉各自獨立創(chuàng)立了微積分。微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。 積分概念是由求某 一些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線求積法》中求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是“有限”開工的窮竭法，但阿基米德的貢獻真正成為積分學(xué)的萌芽。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的《天下篇》中也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的極限思想，公元 263 年，劉徽的《九間算術(shù)》作 5 注時提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來逼近圓周。 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。當 )(xf 的原函數(shù)存在時，定積分的計算可轉(zhuǎn)化為求 )(xf 的不定積分：這是 c 牛頓萊布尼茲公式。)(xfy? 為定義在 ],[ ba 上的函數(shù)，為求由 0, ??? ybxax 和 )(xfy? 所圍圖形的面積 S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直線代替曲線，求出 S 的近似值，再取極限得到所求面積 S，為此，先將 ],[ ba分成 n 等分： bxxxa n ???? ...10 ，取 ],1[ ii xxi ??? ，記 1???? iii xxx ，則 np 為 S 的近似值，當 ???n 時， np 的極限應(yīng)可作為面積 S。如果 )(xF 是 )(xf 的一個原函數(shù)，則 ，其中 C 為任意常數(shù)。 xfxF ? 。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運算而提出的。 積分從不 同的問題抽象出來的兩個數(shù)學(xué)概念。 xfCxF ?? 一個實變函數(shù)在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分，是一個實數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。 由定義可知： 求函數(shù) )(xf 的不定積分，就是要求出 )(xf 的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù) )(xf 的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù) C，就得到函數(shù) )(xf 的不定積分。 記作 dxf? )( 。 3 總的來說，微分學(xué)的核心思想便是以直線代替曲線，即在微小的 鄰域 內(nèi)，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程。 多元微分又叫全微分，是由兩個自變量的偏導(dǎo)數(shù)相對應(yīng)的一元微分的增量表示的。 幾何意義 設(shè) x? 是曲線 )(xfy? 上的點 M 的在橫坐標上的增量， y? 是曲線在點 M 對應(yīng) x? 在縱坐標上的增量， dy 是曲線在點 M 的切線對應(yīng)x? 在縱坐標上的增量。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。于是函數(shù) )(xfy? 的微分又可記作 dxxfdy )(39。如果函數(shù)的增量 )( 0 xxfy ???? ， )( 0xf 可表示為 )( xoxAy ????? （其中 A 是不依賴于 x? 的常數(shù)），而 )( xo? 是比 x? 高階的無窮小，那么稱函數(shù) f(x)在點 0x 是可微的，且 xA? 稱作函數(shù)在點 0x 相應(yīng)于自變量增量 x? 的微分，記作 dy ，即 xAdy ?? 。隨著人類認識的深入，認識將一步一步地由低