【正文】 以圖示 下方的三角樁為軸，從 θ=0～ θ=90o時，機械能守恒。 時彈簧無形變，細棒的質(zhì)量 m=，求在 θ=0176。已知滑輪對 O軸的轉(zhuǎn)動慣量 J=MR2/4 ，設(shè)人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求 B端重物上升的加速度？ 解： 分別對人、滑輪與重物列出動力學方程 1 AM g T M a??人 : 2 44 BMMT g a??物 : 12T R T R J?? ?滑輪 : （選向下為正） （選逆時針為正） （選向上為正） ABa a R?? ? ， /2 4J M R?解得： 2ga ?其中 : 2022/2/11 31 解二： 選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè) u為人相對繩的速度， v為物上升的速度，注意到 u為勻速， d 0dut?系統(tǒng)對軸的角動量為： 而力矩為： 213 ( ) ( )4 4 2ML M v R M u v R R M v R M u RBA? ? ? ? ? ??物 體 人( ) ( ) ( 物 體 )13M44M g R M g R M g R? ? ? ?根據(jù)角動量定理 ddLMt?有： 3 d 3()4 d 2M g R M v R M u Rt?? 2ga ?2022/2/11 32 55．計算質(zhì)量為 m半徑為 R的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動慣量。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為 M，半徑為 R，其轉(zhuǎn)動慣量為 MR2/2，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關(guān)系。試求： （ 1）作用于桿的摩擦力矩； （ 2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉(zhuǎn)動。（在俯視圖中，選 ⊙ 為正方向 ） 由角動量定理，設(shè) Mf 為摩擦力矩，則 22 1 2 2 11 ( 2 )3m v l m v l m l ω? ? ?解 ： 2022/2/11 24 棒上 x 處 dx 段小質(zhì)元 : 1ddmmxl?受摩擦力 df=μgdm ,對 o軸的摩擦力矩 dMf= xdf 10dl mμ g x xl???以上三式聯(lián)立，解得 12212vvtmμ mg??dAffOMM? ? 10dmμ g x m???11 ( 3 )2 μ m g l??2022/2/11 25 三、 7 7 7 7 7 7 80、 88 83 五、 90、 9 9 94 四、 8 8 87 習題集 大題 重點題目 2022/2/11 26 51. 如圖，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為 m、半徑為 r 的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為 2m和 m的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量均為 mr2/2，將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為 2m 和 m 的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。已知棒繞 O點的轉(zhuǎn)動慣量 J＝ m1l2/3。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為 和 ， 如圖所示。 0212R ωv ??2022/2/11 22 14.（習題集 ） 有一質(zhì)量為 m長為 l的均勻細棒，靜止放在滑動摩擦系數(shù)為 μ的水平桌面上，它可繞通過端點 O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。 0M ?外??∴ 角動量守恒 : 00 sinm v l m v l θ?2 2 2001 1 1 ()2 2 2m v m v k l l? ? ?解 ： 知機械能守恒由 非保內(nèi)外 0AA ??對（滑塊 +彈簧）系統(tǒng)， 對（滑塊 +彈簧 +地球）系統(tǒng)， 選彈簧原長時為彈性勢能零點，光滑水平面為重力勢能零點，則 兩式聯(lián)立，可解出結(jié)果。 求該時刻滑塊速度的 大小和方向。彈簧長度為 l0， 滑塊速度 v0=， 方向與彈簧垂直。 對 o 軸的角動量 對該軸的合外力矩為零 機 械能 ? 2022/2/11 18 12.（習題集 ） 在一光滑的水平面上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質(zhì)量 m=1kg的滑塊，如圖所示。 m ● 2m ● o l l /3 解 ： 剛體的角速度 ?JL ?231232io )l(m2)l(mJJ ??? ? 2ml32?233( ) 2vvωll??22332vm l m v ll? ? ?1 1 2 2L m v r m v r?? 212 ( )3 2 3vm v l m l m v l? ? ?或 2022/2/11 17 10. (P9 52) 動量矩定理的內(nèi)容是 ，其數(shù)學表達式可寫 成 ， 動量矩守恒的條件是 。 地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動量 L＝ 。 桿和子彈 角動量 ? m M 8. (P9 50) . 地球的自轉(zhuǎn)角速度可以認為是恒定的，地球?qū)τ谧赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J= 1037kg 從開始制動到 ω= ω0/3 所經(jīng)過的時間 t =_________。此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩 M的大小與角速度 ω的平方成正比，比例系數(shù)為 k（ k為大于 0的常數(shù)）。 (3)W、 k、 l、 θ應(yīng)滿足的關(guān)系式為 。當梯子依墻而與地面成 θ角且處于平衡狀態(tài)時， (1)地面對梯子的作用力的大小為 。 初 角速度為 : ω0=0 末角速度為 : ω=8(rad/s) 角加速度為： 解 ： 0ω ωβt?? 280 0 .8 ( / )10 ra d s???利用定軸轉(zhuǎn)動中的轉(zhuǎn)動定律 MJβ?MJβ? 220 2 5 ( )0 .8 k g m? ? ?2022/2/11 13 5. (P8 47) 一長為 l、 重 W的均勻梯子，靠墻放置，如圖，梯子下端連一倔強系數(shù)為 k 的彈簧。 221 0 1 1 1 1 11122t t t? ? ? ?? ? ?1 0 1 1 1 1tt? ? ? ?? ? ?2211 rr ?? ?121211 412 trrn ???? ??則 兩輪邊緣上點的 線速度大小 相等： 主動輪在 4s內(nèi)的角位移 )r e v(2048254 1 ????? ??121221 trr ??111t?? ?解 ： t = 4s 時， 2022/2/11 12 4. (P8 46) 一可繞定軸轉(zhuǎn)動的飛輪，在 20N )(2RVJmRω ?（ B） ， 逆時針； )(2RVJmRω ?（ A） ， 順時針； ∴ 選（ A ） 2 ( ) 0VJ m RR???分析 ： 2()m R VJR???同課本 2022/2/11 11 3.（ p8. 45 ） 半徑為 20cm 的主動輪，通過皮帶拖動半徑為 50cm 的被動輪轉(zhuǎn)動。 平臺和小孩開始時均靜止。 四、典型習題分析與講解 2022/2/11 9 ω=60rev/min=1rev/s=2πrad/s 1. (P3 17) . 一剛體以每分鐘 60 轉(zhuǎn)繞 z 軸做勻速轉(zhuǎn)動( 沿 Z軸正方向 )。 解法：利用定軸轉(zhuǎn)動中的轉(zhuǎn)動定律 MJ ??步驟 ： （ 1）審題，確定研究對象； （ 2）建立坐標系； （ 3）對研究對象進行受力分析和受力矩分析，并按坐標系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_式及規(guī)律方（注：受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將F=ma與 M=J? 聯(lián)系起來； （ 4）計算對軸的轉(zhuǎn)動慣量； （ 5）解方程，求未知，并對結(jié)果進行必要的討論。 .c o n s t?? ωJ M zz ，則外 03. 剛體的 角動量定理 ddLMt?外