線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-文庫(kù)吧資料
2025-01-18 15:40本頁(yè)面
【正文】 質(zhì) ， 對(duì)矩陣 A可通過(guò) 線性變換方法得到對(duì)角線矩陣或約旦矩陣 ， 然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) ， 由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來(lái)求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù) 。 （ 2） 約旦規(guī)范形法 ?上節(jié)給出了對(duì)角線矩陣 、 塊對(duì)角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù) 。 （ 1）級(jí)數(shù)求和法 ?由上一節(jié)對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過(guò)程中可知 : ? 矩陣指數(shù)函數(shù) eAt的計(jì)算可由上述定義式直接計(jì)算。 解 ： 對(duì)于該系統(tǒng) ,在例 1已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 由于 Φ1(t)=Φ(t)， 所以求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣為 xx ????????? 3210????????????????????????ttttttttAtet2222e2ee2e2eeee2)(???????????????? ?tttttttttt 22221e2ee2e2eeee2)()(3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 ?在狀態(tài)方程求解中 ， 關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ?(t)的計(jì)算 。 當(dāng) Ai為特征值為 ?i的 mi?mi維約旦塊，則分塊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)為 ?對(duì)上述三種特殊形式矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)，可利用矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式證明。 當(dāng) A為如下塊對(duì)角矩陣 : A=blockdiag{A1 A2 … Al} 其中 Ai為 mi?mi維的分塊矩陣 ,則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 式中 ， blockdiag{… }表示由括號(hào)內(nèi)各方塊矩陣組成塊對(duì)角矩陣 。 當(dāng) A為如下對(duì)角線矩陣 : A=diag{?1 ?2 … ?n} 則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 式中 ， diag{… }表示由括號(hào)內(nèi)元素組成對(duì)角線矩陣 。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ?當(dāng)系統(tǒng)矩陣 A為 n n維方陣時(shí) ， 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 Φ(t)亦為 n n維方陣 ,且其元素為時(shí)間 t的函數(shù) 。 ?這里定義的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的 。 解 (1) 首先求出矩陣指數(shù)函數(shù) eAt，其計(jì)算過(guò)程為 【 例 1】 試求如下狀態(tài)方程在初始狀態(tài) x0下的解 (3) 狀態(tài)方程的解為 (2) 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) eAt。 ? 對(duì)標(biāo)量函數(shù) ， 我們有 ?將上述關(guān)系式推廣到矩陣函數(shù)則有 其中 eAt稱為時(shí)間 t的矩陣指數(shù)函數(shù)，并有 ?因此 ， 基于上述 (sIA)1的拉氏反變換 ， 該齊次方程的解為 x(t)=L1[(sIA)1]x0 = eAt x0 ? 上述拉氏反變換法求解結(jié)果與前面的級(jí)數(shù)展開法求解結(jié)果一致 。 ? 對(duì)該齊次狀態(tài)方程 ， 設(shè)初始時(shí)刻 t0=0且初始狀態(tài)x(t)=x0， 對(duì)方程兩邊取拉氏變換 ， 可得 sX(s)x0=AX(s) ?于是可求得該齊次狀態(tài)方程的解 x(t)的拉氏變換為 X(s)=(sIA)1x0 Axx ??? 對(duì)上式取拉氏反變換 ,即得齊次狀態(tài)方程的解為 x(t)=L1[(sIA)1]x0 ? 下面討論如何求解拉氏反變換 L1[(sIA)1]。 ? 因此 ， 使 t有相同冪次項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)相等 ， 即可求得 21 0 2 1 0 1 0, , ,1 ! 2 2 ! !kkkA A A A Akk ?? ? ? ? ?q q q q q q q q? 若初始時(shí)刻 t0=0， 初始狀態(tài) x(0)=x0， 則 可確定 q0=x(0)=x0 ?因此 ， 狀態(tài) x(t)的解可寫為 ? 該方程右邊括號(hào)里的展開式是 n n維矩陣函數(shù) 。 ? 為此 ， 設(shè)其解為 t的向量?jī)缂?jí)數(shù) ,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+…+ qktk+… 式中 ， qk(k=1,2,...)為待定級(jí)數(shù)展開系數(shù)向量 。 )()( taxtx ???? ?????? kk tqtqtqqtx 2210)(? 將所設(shè)解代入該微分方程 ， 可得 ? 如果所設(shè)解是方程的真實(shí)解 ， 則對(duì)任意 t， 上式均成立 。 ? 由常微分方程理論知 ， 該方程的解連續(xù)可微 。 1. 級(jí)數(shù)展開法 ? 在求解齊次狀態(tài)方程式之前 ， 首先觀察標(biāo)量常微分方程 ? 在初始時(shí)刻 t0=0的解 。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 線性定常齊次狀態(tài)方程的解 ?齊次方程就是指滿足解的 齊次性 的方程，即若 x是方程的解，則對(duì)任意非零的實(shí)數(shù) a,ax亦是該方程的解。 ? 所
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