線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述-文庫吧資料
2025-01-22 21:13本頁面
【正文】 ② 微分定理 如果初始條件 成立 ， 則有 ③ 積分定理 ④ 初值定理 ⑤ 終值定理 011[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ,tL f t d t L f t F sss??? 0 0 01[ ( ) ] ( )t t tnL d t d t f t d t F ss?? ? ?0l im ( ) ( 0 ) l im ( )tsf t f sF s? ? ???0l im ( ) ( ) l im ( )tsf t f sF s? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ,L f t f t L f t L f t F s F s? ? ? ? ?[ ( ) ] ( )L k f t k F s?( 1 )( 0) ( 0) ( 0) 0nf f f ??? ? ? ?()[ ( ) ] ( )nnL f t s F s?三 、 傳遞函數(shù)的定義 ? 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ， 定義為零初始條件下 ， 系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換之比 。 二 、 Laplace變換的回顧 拉氏變換的定義 若將實(shí)變量 t 的函數(shù) f(t) 乘上指數(shù)函數(shù) est（ 其中 是一個復(fù)數(shù) ） ， 并且在 上對 t 積分 ，就可以得到一個新的函數(shù) F(s)， 稱 F(s)為 f(t) 的 拉氏變換 ， 并用符號 L[f(t)]表示 。 ? 經(jīng)典控制理論中廣泛采用的 頻域法和根軌跡法 ，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的 。 ? 從卷積公式建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型首先要確定系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的解析函數(shù)描述 —— g(t)。 ? 拉普拉斯 （ Laplace） 變換 （ 簡稱拉氏變換 ） 是求解線性常微分方程的有力工具 ， 它可以將 時域的微分方程 轉(zhuǎn)化為 復(fù)頻域中的代數(shù)方程 ， 并且可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型 —— 傳遞函數(shù) 。 ? 方法直觀 ， 借助計算機(jī)可快速 、 準(zhǔn)確求出方程的解 。 ⑦ 對于 t τ， 根據(jù) 因果系統(tǒng) 和零初始條件的約定有 g(tτ)=0, (t τ), 所以有 ⑧ 作變量代換 ， 可得到卷積公式的另一種形式 ? 結(jié)論： (21)和 (210)、 (211)均為 LTI系統(tǒng)的 時域模型 ， 且等價 。 ③ 如果輸入信號為 Aδ(tτ) ， 則系統(tǒng)脈沖響應(yīng)為 Ag(tτ) 。 單位脈沖響應(yīng)建模 ① 脈沖函數(shù)的概念 ② 單位脈沖響應(yīng) ：零初始條件下的 LTI在 δ(t)作用下的輸出 。 ? 辨識方法 ：通過已知輸入信號作用下系統(tǒng)的響應(yīng) ， 來確定任意輸入信號作用下系統(tǒng)的響應(yīng) 。 則有 其中 ， c(t)和 r(t)是系統(tǒng)的輸出和輸入 （ 已知 ） 。 ? 對于 強(qiáng)非線性 情況 （ 圖 25(d)） ， 不可能對其進(jìn)行線性化處理 ， 只能采用非線性理論來分析 。 ? 采用平衡點(diǎn) A處的切線方程代替非線性方程 y=f(x),這就是 小偏差線性化的幾何意義 。 輸出 輸入 O (a) 飽和 輸出 輸入 O (b) 死區(qū) 輸出 輸入 O (d) 繼電 輸出 輸入 O (c) 間隙 圖 25 非線性特性 對弱非線性的線性化 ? 對于 25(a)， 當(dāng)輸入信號很小時 ， 忽略非線性影響 ， 近似為放大特性； ? 對于 25(b)、 (c)， 當(dāng)死區(qū)或間隙很小時 ， 也可近似為放大特性 。 ? 可以用一種比較容易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)模擬其他較難實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng) 。 解 對于圖 24所示的單擺系統(tǒng) ， 根據(jù)牛頓運(yùn)動定律可以直接推出如下系統(tǒng)運(yùn)動方程 顯然方程 (28)是一個二階的非線性微分方程 ，但是在擺幅較小的情況下 ， 單擺運(yùn)動方程可以認(rèn)為是線性的 22 s in 0ddm l l m gd t d t????? ? ?(28) 22 0ddm l l m gd t d t????? ? ?(29) ? 相似系統(tǒng)和相似變量 ? 數(shù)學(xué)模型相同的各種物理系統(tǒng)稱為 相似系統(tǒng) ； ? 在相似系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中 ， 作用相同的變量稱為 相似變量 。 解 根據(jù)牛頓運(yùn)動定律 ， 系統(tǒng)的運(yùn)動方程為 或?qū)懗? 思考：比較表達(dá)式 (23)和 (27)可以得到什么結(jié)論 22( ) ( ) ( ) ( )d y t d y tm k y t f td t d t?? ? ?22( ) ( ) 1( ) ( )m d y t d y t y t f tk d t k d t k??? ? ? ?(26) (27) ? 例 24：圖 24表示一個單擺系統(tǒng) ， 輸入量為零 （ 不加外力 ） ， 輸出量為擺幅 θ(t)。 外力 f(t) 是系統(tǒng)的輸入量 ， 位移 y(t) 是系統(tǒng)的輸出量 。 方程 (24)和 (25)就是該系統(tǒng)的微分方程 ， 這是一個 一階系統(tǒng) 。 ()iut ()out 解 理想運(yùn)算放大器正 、 反相輸入端電位相同 ， 且輸入電流為零 。 21 2 22( ) ( ) ( ) ( )oooid u t d u tT T T u t u td t d t? ? ?(23) 1T L R? 2T RC?22( ) ( ) ( ) ( )oooid u t d u tL C R C u t u td t d t? ? ?(22) ? 例 22： 圖 22是一個由理想運(yùn)算放
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