解不等式習題精選精講-文庫吧資料
2025-01-16 08:38本頁面
【正文】 得到必須將 a 與 2,0 進行比較分類： ①當 a＞ 0 時，解集為 { x|x＜－ 2 或 0＜ x＜ a} ②當－ 2＜ a＜ 0 時，解集為 { x|x＜－ 2 或 a＜ x＜ 0} ③當 a=－ 2 時，解集為 { x|x＜ 0 且 x≠－ 2} ④當 a＜－ 2 時，解集為 { x|x＜ a 或－ 2＜ x＜ 0} 例 4 解關于 x 的不等式： (m+1)x2－ 4x+1≤ 0 (m∈ R) 分析 ：此題是含參數 m 的不等式，首先應根據 m+1 是否取 0 確定原不等式是一元一次不等式還是一元二次不等式；若 m+1 不等于零，還要按m+1 的值為正或負及關于 x 的二次三項式的判別式的符號為分類標準 對 m 取一切實數的情形進行分類，求出原不等式的解 . 解 ：⑴當 m=－ 1 時，－ 4x+1≤ 0 x≥ 41 ⑵當 m≠ – 1 時，△ =16－ 4(m+1)=4(3－ m),當 m≤ 3 時，方程 (m+1)x2－ 4x+1=0 才有解 132 ???? m mx 下面以 m 與－ 1 和 3 的大小關系作為分類標準來討論： ①當 m－ 1 時， m+10，且 132 ???m m 132 ???m m 此時原不等式的解集為： (－ ∞ , 132 ???m m ]∪ [ 132 ???m m ,+∞ ) ②當 － 1m3 時， m+10 且 132 ???m m ≤ 132 ???m m 此時原不等式的解集為： [ 132 ???m m , 132 ???m m ] ③當 m=3 時，解集為： {21 } ④當 m3 時，解集為空集 . 例 5. 解不等式： a a x a x( )? ? ? 2 解： 原不等式等價于 a a xa xa a x a x( )( ) ( )? ?? ?? ? ??????02 02 2 ? ? ???? ????????? ? ?當 時，原式ax ax ax x aa x a024 3 034 2( ) 當 時，原不等式化為：或ax ax ax a xa x a???? ??????????? ? ?0234034當 時，原不等式化為 ，a x x? ? ? ? ?0 2 0 0 例 6 (2022 年全 國高考題 )設函數 axxxf ??? 1)( 2 ，其中 0?a .（Ⅰ）解不等式 )(xf ≤ 1； (2)略 . 習題精選精講 解析 不等式 1)( ?xf 即 axx ??? 112 ，由此得 ax??11 ，即 0?ax ，其中常數 0?a . 所以，原不等式等價于??? ? ??? .0 ,)1(1 22x axx 即??? ???? 02)1( ,02 axax 所以，當 10 ??a 時，所給不等式的解集為 }1 20|{ 2aaxx ???；當 1?a 時，所給不等式的解集為 }0|{ ?xx . 解抽象函數型不等式 所謂抽象函數型不等式，即不等式與一個抽象函數有關，同時已知抽象函數的定義域、奇偶性或單調性 等 . 這一類不等式的解法是先根據單調性去掉函數符號，轉化為一般不等式來解，但一定要注意定義域 . 例 15 設 f(x)是定義域為 (∞， 0)∪ (0， +∞ )的奇函數，且在 (0， +∞ )上為增函數 . 若 f(1)=0，解關于 x 的不等式 f[loga(1x2)+1]0，其中 a1. 解析 由于 f(x)是奇函數，且在 (0， +∞ )上為增函數，所以它在 (∞， 0)上也為增函數 .又由于 f(1)=f(1)=0. 于是原不等式等價于? ?? ???? ??? ??? 111log 011log22xxaa① 或 ? ?? ???? ???? ??? 111log 011log22xxaa② 由 ①得 x20，所以解集為φ；由②解得21111 axa ????. 故原不等式的解集為 {x|21111 axa ????或axa 1111 2 ?????}. 例 16 已知偶函數 f(x)在 ? ???,0 上是增函數，求解不等式 f(2x+5)f(x2+2). 解析 由題意知 f(x)在 ? ???,0 上單調遞增 ，在 ? ?0,?? 上單調遞減 . 由偶函數定義知不等式
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