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解不等式習題精選精講-文庫吧資料

2025-01-16 08:38本頁面
  

【正文】 得到必須將 a 與 2,0 進行比較分類: ①當 a> 0 時,解集為 { x|x<- 2 或 0< x< a} ②當- 2< a< 0 時,解集為 { x|x<- 2 或 a< x< 0} ③當 a=- 2 時,解集為 { x|x< 0 且 x≠- 2} ④當 a<- 2 時,解集為 { x|x< a 或- 2< x< 0} 例 4 解關于 x 的不等式: (m+1)x2- 4x+1≤ 0 (m∈ R) 分析 :此題是含參數(shù) m 的不等式,首先應根據(jù) m+1 是否取 0 確定原不等式是一元一次不等式還是一元二次不等式;若 m+1 不等于零,還要按m+1 的值為正或負及關于 x 的二次三項式的判別式的符號為分類標準 對 m 取一切實數(shù)的情形進行分類,求出原不等式的解 . 解 :⑴當 m=- 1 時,- 4x+1≤ 0 x≥ 41 ⑵當 m≠ – 1 時,△ =16- 4(m+1)=4(3- m),當 m≤ 3 時,方程 (m+1)x2- 4x+1=0 才有解 132 ???? m mx 下面以 m 與- 1 和 3 的大小關系作為分類標準來討論: ①當 m- 1 時, m+10,且 132 ???m m 132 ???m m 此時原不等式的解集為: (- ∞ , 132 ???m m ]∪ [ 132 ???m m ,+∞ ) ②當 - 1m3 時, m+10 且 132 ???m m ≤ 132 ???m m 此時原不等式的解集為: [ 132 ???m m , 132 ???m m ] ③當 m=3 時,解集為: {21 } ④當 m3 時,解集為空集 . 例 5. 解不等式: a a x a x( )? ? ? 2 解: 原不等式等價于 a a xa xa a x a x( )( ) ( )? ?? ?? ? ??????02 02 2 ? ? ???? ????????? ? ?當 時,原式ax ax ax x aa x a024 3 034 2( ) 當 時,原不等式化為:或ax ax ax a xa x a???? ??????????? ? ?0234034當 時,原不等式化為 ,a x x? ? ? ? ?0 2 0 0 例 6 (2022 年全 國高考題 )設函數(shù) axxxf ??? 1)( 2 ,其中 0?a .(Ⅰ)解不等式 )(xf ≤ 1; (2)略 . 習題精選精講 解析 不等式 1)( ?xf 即 axx ??? 112 ,由此得 ax??11 ,即 0?ax ,其中常數(shù) 0?a . 所以,原不等式等價于??? ? ??? .0 ,)1(1 22x axx 即??? ???? 02)1( ,02 axax 所以,當 10 ??a 時,所給不等式的解集為 }1 20|{ 2aaxx ???;當 1?a 時,所給不等式的解集為 }0|{ ?xx . 解抽象函數(shù)型不等式 所謂抽象函數(shù)型不等式,即不等式與一個抽象函數(shù)有關,同時已知抽象函數(shù)的定義域、奇偶性或單調性 等 . 這一類不等式的解法是先根據(jù)單調性去掉函數(shù)符號,轉化為一般不等式來解,但一定要注意定義域 . 例 15 設 f(x)是定義域為 (∞, 0)∪ (0, +∞ )的奇函數(shù),且在 (0, +∞ )上為增函數(shù) . 若 f(1)=0,解關于 x 的不等式 f[loga(1x2)+1]0,其中 a1. 解析 由于 f(x)是奇函數(shù),且在 (0, +∞ )上為增函數(shù),所以它在 (∞, 0)上也為增函數(shù) .又由于 f(1)=f(1)=0. 于是原不等式等價于? ?? ???? ??? ??? 111log 011log22xxaa① 或 ? ?? ???? ???? ??? 111log 011log22xxaa② 由 ①得 x20,所以解集為φ;由②解得21111 axa ????. 故原不等式的解集為 {x|21111 axa ????或axa 1111 2 ?????}. 例 16 已知偶函數(shù) f(x)在 ? ???,0 上是增函數(shù),求解不等式 f(2x+5)f(x2+2). 解析 由題意知 f(x)在 ? ???,0 上單調遞增 ,在 ? ?0,?? 上單調遞減 . 由偶函數(shù)定義知不等式
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