【正文】 4， 可得 F 的縱坐標與點 C 的縱坐標互為相反數(shù)，即是﹣ 2， 當 y=﹣ 2 時，代入拋物線的解析式為：﹣ 2=﹣ + +2， x= ， ∵ 點 F 在第三象限， ∴ F（ ，﹣ 2）， 過 F 作 FM⊥ AB 于 M，則 △ PCO≌△ AFM， ∴ OP=AM， ∴ OP= ﹣ 1= ， 則此時點 P 的坐標為（ ， 0）， 綜上所述， F（ 3， 2）， P（ 2， 0）或點 F（ ，﹣ 2），點 P（ ， 0）． 第 26 頁（共 57 頁） 27．對于一個圓和一個正方形給出如下定義：若圓上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱這個圓是該正方形的 “等距圓 ”． 如圖 1，在平面直角坐標系 xOy 中，正方形 ABCD 的頂點 A 的坐標為（ 2， 4），頂點 C、 D 在 x 軸上，且點 C 在點 D 的左側． 第 27 頁（共 57 頁） （ 1）當 r=2 時，在 P1（ 0， 2）， P2（﹣ 2， 4）， P3（ 4 ， 2）， P4（ 0， 2﹣ 2 ）中可以成為正方形 ABCD 的 “等距圓 ”的圓心的是 P2（﹣ 2， 4）或 P4（ 0， 2﹣ 2 ） ； （ 2）若點 P 坐標為（﹣ 3， 6），則當 ⊙ P 的半徑 r= 5 時， ⊙ P 是正方形 ABCD的 “等距圓 ”．試判斷此時 ⊙ P 與直線 AC 的位置關系？并說明理由． （ 3）如圖 2，在正方形 ABCD 所在平面直角坐標系 xOy 中，正方形 EFGH 的頂點F 的坐標為（ 6， 2），頂點 E、 H 在 y 軸上，且點 H 在點 E 的上方． 若 ⊙ P 同時為上述兩個正方形的 “等距圓 ”，且與 BC 所在直線相切，求 ⊙ P 的圓心P 的坐標． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) “等距圓 ”的定義，可知只要圓經(jīng)過正方形的中心，即是正方形的 “等距圓 ”，也就是說圓心與正方形中心的距離等于圓的半徑即可，從而可以判斷哪個點可以成為正方形 ABCD 的 “等距圓 ”的圓心，本題得以解決； （ 2）根據(jù)題意可知，只要求出點 P 與正方形 ABCD 的中心的距離即可求得半徑 r的長度，連接 PE，可以得到直線 PE 的解析式，看點 B 是否在 此直線上，由 BE與直線 AC 的關心可以判斷 PE 與直線 AC 的關系，本題得以解決； （ 3）根據(jù)題意，可以得到點 P 滿足的條件，列出形應的二元一次方程組，從而可以求得點 P 的坐標． 【解答】 解：（ 1）連接 AC、 BD 相交于點 M，如右圖 1 所示， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ 點 M 是正方形 ABCD 的中心，到四邊的距離相等， ∴⊙ P 一定過點 M， ∵ 正方形 ABCD 的頂點 A 的坐標為（ 2， 4），頂點 C、 D 在 x 軸上，且點 C 在點 D的左側． 第 28 頁（共 57 頁） ∴ 點 M（ 0， 2）， 設 ⊙ P 的圓心坐標是（ x， y）， ∴ （ x﹣ 0） 2+（ y﹣ 2） 2=（ 2 ） 2， 將 P1（ 0， 2）， P2（﹣ 2， 4）， P3（ 4 ， 2）， P4（ 0， 2﹣ 2 ）分別代入上面的方程，只有 P2（﹣ 2， 4）和 P4（ 0， 2﹣ 2 ）成立， 故答案為： P2（﹣ 2， 4）或 P4（ 0， 2﹣ 2 ）； （ 2）由題意可得， 點 M 的坐標為（ 0， 2），點 P（﹣ 3， 6）， ∴ r= =5， 即當 P 點坐標為（﹣ 3， 6），則當 ⊙ P 的半徑 r 是 5 時， ⊙ P 是正方形 ABCD 的 “等距圓 ”； 故答案為 5． 此時 ⊙ P 與直線 AC 的位置關系是相交， 理由： ∵ 正方形 ABCD 的頂點 A 的坐標為（ 2， 4），頂點 C、 D 在 x 軸上，且點 C在點 D 的左側， ∴ 點 C（﹣ 2， 0）， 設過點 A（ 2， 4），點 C（﹣ 2， 0）的直線的解析式為 y=kx+b， 則 ， 解得， ， 即直線 AC 的解析式為： y=x+2， ∴ 點 P（﹣ 3， 6）到直線 AC 的距離為： = ， ∵ ＜ 5， ∴ 此時 ⊙ P 與直線 AC 的位置關系是相交； （ 3）設點 P 的坐標為（ x， y），連接 HF、 EG 交于點 N，則點 N 為正方形 EFGH的中心，如圖 2 所示， 第 29 頁（共 57 頁） ∵ 點 E（ 0， 2）， N（ 3， 5），點 C（﹣ 2， 0），點 B（﹣ 2， 4）， ⊙ P 同時為上述兩個正方形的 “等距圓 ”，且與 BC 所在直線相切， ∴ ， 解得 或 ， 即 ⊙ P 的圓心 P 的坐標是（ 5+2 ，﹣ 2 ）或（ 5﹣ 2 ， 2 ）． 九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題：每題 3 分，共 45 分 1．已知反比例函數(shù) y= 的圖象經(jīng)過點 P（﹣ 1， 2），則這個函數(shù)的圖象位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．下列性質(zhì)中，菱形具有矩形不一定具有的是（ ） 第 30 頁（共 57 頁） A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．鄰邊互相垂直 D．對角線互相垂直 3．隨州市尚市 “桃花節(jié) ”觀賞人數(shù)逐年增加，據(jù)有關部門統(tǒng)計， 2022 年約為 20萬人次， 2022 年約為 萬人次，設觀賞人數(shù)年均增長率為 x，則下列方程中正確的是（ ） A． 20（ 1+2x） = B． （ 1+x） 2=20 C． 20（ 1+x） 2= D． 20+20（ 1+x） +20（ 1+x） 2= 4．三張外觀相同的卡片分別標有數(shù)字 3，從中隨機一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于 3 的概率是（ ） A． B． C． D． 5．關于 x 的一元二次方程 x2﹣ x+sinα=0 有兩個相等的實數(shù)根，則銳角 α 等于（ ） A． 15176。 ， ∴ DE= ﹣（﹣ ） = ， 答：這時離開水面 2 米處涵洞寬 DE 是 米． 25．某商店購進一種商品，每件商品進價 30 元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量 y（件）與每件銷售價 x（元）的關系數(shù)據(jù)如下： x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 （ 1）已知 y 與 x 滿足一次函數(shù)關系，根據(jù)上表，求出 y 與 x 之間的關系式（不寫出自變量 x 的取值范圍）； （ 2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得 150 元利潤，那么每件商品的銷售價應定為多少元？ （ 3）設該商店每天銷售這種商品所獲利潤為 w（元），求出 w 與 x 之間的關系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？ 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【分析】 （ 1）根據(jù)待定系數(shù)法解出解析式即可； （ 2）根據(jù)題意列出方程解答即可； （ 3）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式的最值解答即可． 【解答】 解：（ 1）設該函數(shù)的表達式為 y=kx+b，根據(jù)題意，得 ， 解得： ． 故該函數(shù)的表達式為 y=﹣ 2x+100； （ 2）根據(jù)題意得， （﹣ 2x+100）（ x﹣ 30） =150， 解這個方程得， x1=35， x2=45， 故每件商品的銷售價定為 35 元或 45 元時日利潤為 150 元； （ 3）根據(jù)題意，得 第 23 頁（共 57 頁） w=（﹣ 2x+100）（ x﹣ 30） =﹣ 2x2+160x﹣ 3000 =﹣ 2（ x﹣ 40） 2+200， ∵ a=﹣ 2＜ 0 則拋物線開口向下，函數(shù)有最大值， 即當 x=40 時， w 的值最大， ∴ 當銷售單價為 40 元時獲得利潤最大． 26．如圖 1，已知拋物線 y=ax2+bx+2 的圖象經(jīng)過點 A（﹣ 1， 0）， B（ 4， 0）兩點，與 y 軸交于點 C． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點 Q（ m， m﹣ 1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點， P 是線段 AB 上的一個動點（不與 A、 B 重合），經(jīng)過點 P 分別作 PD∥ BQ 交 AQ 于點 D， PE∥ AQ 交BQ 于點 E． ① 判斷四邊形 PDQE 的形狀；并說明理由； ② 連接 DE，求出線段 DE 的長度范圍； ③ 如圖 2，在拋物線上是否存在一點 F，使得以 P、 F、 A、 C 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點 F 和點 P 坐標；若不存在，說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式； （ 2） ① 作輔助線 QH，利用勾股定理的逆定理求出 ∠ AQB=90176。 ∴∠ BDF+∠ ODB=90176。 ∴∠ BDE=90176。即可得出結論． 【解答】 解：（ 1）設 ⊙ O 的半徑為 R， ∵ BC 是 ⊙ O 的切線， ∴∠ OBC=90176。求出 ∠ BDE=90176。 AB=8， AC=6， ∴ BC= =2 ， 第 19 頁（共 57 頁） ∵ OD∥ BC， OA=OB， ∴ OE= BC= ， ∴ DE=4﹣ ． 22．如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， BC 是 ⊙ O 的切線，切點為 B， OC 相交于點 D，且CD=2， BC=4， （ 1）求 ⊙ O 的半徑； （ 2）連接 AD 并延長，交 BC 于點 E，取 BE 的中點 F，連接 DF，試判斷 DF 與 ⊙O 的位置關系，并說明理由． 【考點】 切線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）設 ⊙ O 的半徑為 R，由切線的性質(zhì)得出 ∠ OBC=90176。=40176。 ∴∠ CAD=50176。 ∵ AB 是半圓 O 的直徑， ∴∠ C=90176。求 ∠ CAD 的度數(shù)； （ 2）若 AB=8， AC=6，求 DE 的長． 【考點】 圓周角定理． 【分析】 （ 1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出 ∠ AOD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 ∠ OAD，根據(jù)圓周角定理求出 ∠ CAB，計算即可； （ 2）根據(jù)勾股定理求出 BC，根據(jù)三角形中位線定理求出 OE，結合圖形計算． 【解答】 解：（ 1） ∵ OD∥ BC， ∴∠ AOD=∠ B=80176。 ， 則 x=3 ． 18．已知關于 x 的方程 x2+ax﹣ 2=0． （ 1）求證：不論 a 取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）若該方程的一個根為 2，求 a 的值及該方程的另一根． 【考點】 根與系數(shù)的關系；根的判別式． 【分析】 （ 1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式即可得出 △ =a2+8≥ 8，由此即可證出不論 a 取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2）將 x=2 代入原方程求出 a 值，設方程的另一個根為 m，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得出 2m=﹣ 2，解之即可得出結論． 【解答】 解：（ 1）在方程 x2+ax﹣ 2=0 中， △ =a2﹣ 4 1 （﹣ 2） =a2+8， ∵ a2+8≥ 8， ∴ 不論 a 取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根． （ 2）將 x=2 代入原方程， 4+2a﹣ 2=0， 解得： a=﹣ 1． 設方程的另一個根為 m， 由根與系數(shù)的關系得： 2m=﹣ 2， 解得： m=﹣ 1． ∴ a 的值為﹣ 1，方程的另一根為﹣ 1． 19．某人了解到某公司員工的月工資情況如下： 員工 經(jīng)理 副經(jīng)理 職員A 職員B 職員C 職員D 職員E 職員F 職員G 月工資 / 12022 8000 3200 2600 2400 2200 2200 2200 1200 第 17 頁（共 57 頁） 元 在調(diào)查過程中有 3 位員工對月工資給出了下列 3 種說法： 甲：我的工資是 2400 元，在公司中屬中等收入． 乙：我們有好幾個人的工資都是 2200 元． 丙：我們公司員工的收入比較高，月工資有 4000 元． （ 1）上述 3 種說法分別用了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中哪一個描述數(shù)據(jù)的集中趨勢？ （ 2）在上述 3 種說法中你認為那種說法可以較好地反映該公司員工月收入的一般水平？說說你的理由． 【考點】 眾數(shù)；算術平均數(shù)；中位數(shù)． 【分析】 （ 1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義得出答案； （ 2）根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)的意義即可得出結論． 【解答】 解：（ 1）甲所說的數(shù)據(jù) 2400 元，我們稱之為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)； 乙所說的數(shù)據(jù) 2200 元，我們稱之為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)； 平均數(shù)為： 247。 ∵∠ OP1B=90176。 ∵∠ D=∠ BAC=45176。 BC=5，則 ⊙ O 的直徑為 5 ． 【考點】 三角形的外接圓與外心；等腰直角三角形；圓周角定理． 【分析】 首先作 ⊙ O 的直徑 CD，連接 BD，可得 ∠ CBD=90176。=720176。 故 的度數(shù)是 150176。 故 ∠ BOD=30176。 【考點】 圓心角、弧、弦的關系；翻折變