【正文】 ?，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。 解：在 11 11()22nnnaa ?? ??兩邊乘以 12?n 得： 1 12 ( 2 ) 1nnnnaa? ?? ? ? ? 令 nnn ab ??2 ，則 1 1nnbb? ??,解之得： 1 11nb b n n? ? ? ? ? 所以 122nn nnb na ??? 練習(xí) . 已知數(shù)列 }a{n 滿足 ）（ 2n12a2a n1nn ???? ? ，且 81a4? 。 五 .構(gòu)造等差或等比 1nna pa q? ??或 1 ()nna pa f n? ?? 例 8（ 2022年福建卷 ）已知數(shù)列 ??na 滿足 *111 , 2 1 ( ) .nna a a n N?? ? ? ? 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； 解： *1 2 1 ( ) ,nna a n N? ? ? ? 1 1 2( 1),nnaa?? ? ? ? ? ?1na??是以 1 12a?? 為首項(xiàng)， 2為公比的等比數(shù)列。 解：因?yàn)?1 2 3 12 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a n a n?? ? ? ? ? ? ? ① 所以 1 1 2 3 12 3 ( 1 )n n na a a a n a na??? ? ? ? ? ? ? ② 用②式－①式 得 1 .n n na a na? ?? 則 1 ( 1) ( 2)nna n a n? ? ? ? 故 1 1( 2)nna nna? ? ? ? 所以 132 2 21 2 2 ![ ( 1 ) 4 3 ] .2nnn nna a a na a n n a aa a a???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 由 1 2 3 12 3 ( 1 ) ( 2)nna a a a n a n?? ? ? ? ? ? ?， 2 1 222n a a a? ? ?取 得 ，則 21aa? ，又知1 1a? ，則 2 1a? ，代入③得 !1 3 4 5 2n nan? ? ? ? ? ? ?。 解：因?yàn)?112( 1 ) 5 3nnna n a a? ? ? ? ?，所以 0na? ，則 1 2( 1)5nnna na? ??，故13 211 2 2 11 2 2 11 ( 1 ) ( 2 ) 2 1( 1 )1 2[ 2 ( 1 1 ) 5 ] [ 2 ( 2 1 ) 5 ] [ 2 ( 2 1 ) 5 ] [ 2 ( 1 1 ) 5 ] 32 [ ( 1 ) 3 2 ] 5 33 2 5 !nnnnnnnn n nnnna a a aaaa a a annnnn?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式為 ( 1 )1 23 2 5 !.nnnnan??? ? ? ? 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系 1 2( 1)5 nnna n a? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 2( 1)5nnna na? ??，進(jìn)而求出 13 211 2 2 1nna a a a aa a a a???? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 解： 1 3 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?兩邊除以 13n? ，得 111213 3 3 3nnn n naa???? ? ?， 則 111213 3 3 3nnn n naa???? ? ?，故 1 1 2 2 3 2 1 12 2 3 2 1111 2 21 2 2( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 32 1 2 1 2 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 32( 1 ) 1 1 1 1 1( ) 13 3 3 3 3 3n n n n n n nn n n n nnnn n nn n n na a a a a a a a a aaan? ? ? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 因此 11 ( 1 3 )2( 1 ) 2 1 13 13 3 1 3 3 2 2 3nnnnna nn???? ? ? ? ? ???， 則 2 1 13 3 .3 2 2nnnan? ? ? ? ? ? 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 3 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 111213 3 3 3nnn n naa???? ? ?，進(jìn)而求出 1 1 2 2 3 2 1 11 1 2 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得數(shù)列3nna??????的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 解：由 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?得 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?則 1 1 2 3 2 2 1 11 2 2 11 2 2 11( ) ( ) ( ) ( )( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) 32 ( 3 3 3 3 ) ( 1 ) 33 ( 1 3 )2 ( 1 ) 3133 3 1 331n n n n nnnnnnnna a a a a a a a a annnn? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? 所以 3 ? ? ? 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 2 3 1nnnaa? ? ? ? ?，進(jìn)而求出 1 1 2 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 21nna a n? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 1 21nna a n? ? ? ?，進(jìn)而求出 1 1 2 3 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n na a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 當(dāng) a1=2時(shí)， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴ a1=2， ∴ an=5n－ 3新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 2．（ 2022年全國(guó)卷 I）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和 14 1 223 3 3nnnSa ?? ? ? ?， 1,2,3,n? （Ⅰ）求首項(xiàng) 1a 與通項(xiàng) na ； （Ⅱ）設(shè) 2nn nT S?， 1,2,3,n? ，證明：132n ii T? ?? 解：（ I） 21 1 14 1 223 3 3a S a? ? ? ? ?，解得： 1 2a? ? ?211 1 14 4 1 223 3 3 nnn n n n na S S a a ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11 2 4 2nnnnaa??? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2nna ? 是公比為 4的等比數(shù)列 所以： ? ?1112 2 4nnnaa ?? ? ? ? 得： 42nnna ?? （其中 n為正整數(shù)） （ II） ? ? ? ? ? ?1 1 14 1 2 4 1 2 22 4 2 2 2 1 2 13 3 3 3 3 3 3n n n n n nnnSa ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 112 3 2 3 1 12 2 2 1 2 12 1 2 1nnn nnnnnT S ?? ??? ? ? ? ? ??????? ?? 所以： 111 3 1 1 32 2 1 2 1 2n i ni T ?? ??? ? ? ???????? 三 、累加法 例 3 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 1 1nna a n a? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 2 3 2nnnaa? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 11 32 2 2nnaa?? ??，說明數(shù)列{}2nna 是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 31 ( 1)22nna n? ? ? ，進(jìn)而求出數(shù)列{}na 的通項(xiàng)公式。 : 類似于等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法 . 1） : 1+2+3+...+n = 2 )1( ?nn 2） 1+3+5+...+(2n1) = 2n 3） 2333 )1(2121 ?????? ????? nnn? 4） )12)(1(61321 2222 ??????? nnnn? 5） 111)1( 1 ???? nnnn )211(21)2( 1 ???? nnnn 6） )()11(11 qpqppqpq ???? 求 數(shù)列通項(xiàng)公式的 方法 一、公式法 例 1 已知數(shù)列 {}na 滿足 1 2 3 2nnnaa? ? ? ?， 1 2a? ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 :適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí) ,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 (3) 中 項(xiàng) 公 式 法 : 驗(yàn)證212 ?? ?? nnn aaa Nnaaa nnn ?? ?? )( 22 1 都成立。