【正文】 . .nn x f x a e??? ?于 E ，則 ()fx在 E 上可測，即充分性得證，下證必要性。令 14 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, , , , , , , , , , .iii i i i i iiii i i ii i i if x x Ff b f af a x a x a b a bbagxf a x a b bf b x a b a?????? ? ? ?? ? ? ????? ?? ? ? ???? ? ? ??? 則 ()gx在 1R 上連續(xù)，且滿足在 F 上， ( ) ( )x f x? ? 。 [11] 證明 由 Lusin定理可知，對任意 0?? ，存在閉集 FE? ,使 ()fx在 F 上連續(xù)，且? ?m E F ???。令n?? ，得1 0nnm E F????????????????。 證明 由 Lusin定理得，對任意自然數(shù) n ，存在閉子集 nEE? ,使得 ()fx在 nE 上連續(xù)，且 ? ? 1nm E E n??。 [10] 證略。 從此例題可以看出可用簡單函數(shù)來逼近可測函數(shù)。且有 ? ?l im ( ) ( ) ( )kk x f x f x f x? ???? ? ? ?， xE? 。 [9] 證明 記 +( ) ( ) ( )f x f x f x???，由 定理 6可知，存在非負可測的簡單函數(shù)漸升列 13 ? ?1()k x? 和 ? ?2()k x? ，滿足 1lim ( ) ( )kk x f x? ??? ? ， 2lim ( ) ( )kk x f x? ??? ? ， xE? 。 此定理說明可以用 非負簡單函數(shù)逼近非負可測函數(shù)。 當 ,kjxE? 時，? ? kk jx 2 1??? ， ? ??????????????????,2 12,2 12,1112,11jkkjkkkExjExjx? 于是 1( ) ( )kkxx???? ， xE? , 1,2,k? 。每個 ()k x? 都是非負可測簡單函數(shù)，且有 1( ) ( ) ( )kkx x f x?????， xE? , 1,2,k? 。 ( )22kj kkjjE x E f x???? ? ? ?????， 1, 2 , 2 , 1, 2 , ,kj k k?? ? ?。 簡單函數(shù)逼近可測函數(shù) 定理 7 若 ()fx是 E 上的非負可測函數(shù)，則存在非負可測的簡單函數(shù)漸升列： 1( ) ( ) , 1, 2 ,kkx x k?? ??? 使得 lim ( ) ( )kk x f x??? ?， xE? 。又 ? ?*m E F ???，則 ? ?* cm G E ???，由 定理 5知 cE 為可測集，則 E 為可測集。 0???,存在閉集 F ,使 FE? ,則 ccFE? 。又 cG E G E?? ，cE G E G?? ，所以 ccG E E G E F? ? ? ? ?，那么 ? ?*m E F ???。 E 為可測集，則 cE 為可測集，由 定理 5可知， 0???， ? 開集 G ，有 cGE? ，使得? ?* cm G E ???。 例 2 設 nE?R ， E 為可測集的充要條件為對任意的 0?? ，存在閉集 F ,使 FE? ,且 ? ?*m E F ???。從而當 E 為可測集時，對于 0???，都 ? 開集 G ,有 GE? ，使得()m G E ???。又1cnn EE? ? ，1 1 1( ) ( )c n n n n nn n nG E G E G E? ? ?? ? ?? ? ?，則1 ()nnnE G E??? ? ?。作開集1 nnGG???，則11nnnnGE?????,即 GE? 。又 nE 有界，則nmE??? 。 又 GE? ，有 ()m G E mG mE? ? ?，即()m G E ???。 當 mE??? 時， 0???， ? 開集 G ,有 GE? ，使得 mE G mE ?? ? ?，即mG mE ???。于是? ?G G E??為可測集，即 E 為可測集。于是 ? ? ? ?* 1*nm G E m G E n? ? ? ?。作1 nnGG???， G 為 G? 型集，則G 為 可測集，又對每個 1n? ，有 nGE? ，所以 GE? ，從而1 nnG E G E????? ? ?????。 11 證明 先證充分性。為了建立 Lebesgue積分，引進了 Lebesgue可測集和可測函數(shù)，接下來我們探討可測集的逼近、可測函 數(shù)的逼近、 無界函數(shù) L積分的逼近和 L可積函數(shù)的逼近。 從 例 1可以看出 R可積函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)列來逼近。則在 ??niI 上 ， ? ? ? ?()nni n im x M???， ? ? ? ?()nniim f x M??，從而 ? ?( ) ( ) nnix f x????，故當 nN? 時，有 ? ? ? ?1( ) d ( )d ( ) ( ) dnb b b nnn n i ia a a if x x x x f x x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?。于是 0???， 1N??,當 nN? 時， ? ? ? ?1 in nnii x??? ???。 例 1 f 在 ? ?,ab 上可積，則存在連續(xù)函數(shù)序列 ? ?()n x? ， ( )d lim ( )dbbnaanf x x x x??????。 當 ? ?1,iix x x??時，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111( ) ( )i i i i i iiif x w x x x f x x x f x x x x x f xxx ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1111111i i i iiii i ii i i if x f x x x x x f x f xxxx x x xx x x x? ? ?????????? ? ? ? ? ??????? ? ? 于是 ? ? ? ?111( ) d ( ) diinnbx iiax iif x w x x f x w x x x?????? ? ? ? ? ????? 。在 ? ?,ab 上作函數(shù) ??wx，當 ? ?1 ,iix x x?? 時， 1111( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , ,iiiii i i ix x x xw x f x f x i nx x x x ??????? ? ?。 定理 5 設 f 在 ? ?,ab 上可積，則對任給的 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的連續(xù)函數(shù) ??wx， 使得 ? ?()ba f x w x dx ????。同理可證( ) ( ) dba h x f x x ???? 。 若 1iiMM?? ，對 ? ?,iix x x ???，作 ? ?1() iiiiMMh x M x x?? ?? ? ?，則 1 ()iiM h x M? ??。 類似地，把階梯函數(shù) ()x? 按如下取折線函數(shù)的方式取得 ()hx 。 對于確定分割 T ， n 是一個固定的值，又 0?? 任意小，那么 ( ( ) ( ))d 2ba x g x x ?? ???。 9 在其他處作 ( ) ( )g x x?? ，則 ()gx在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )g x x f x???，又 ()fx在 ? ?,ab上可積，則 ()fx在 ? ?,ab 上有界，即 ,mM? ,使得 ()m f x M??。 把階梯函數(shù) ()x? 按如下方式取得 ()gx，對充分小的 0?? ，若 1iimm?? ，對? ?,iix x x ???， 1,2, , 1in??，作 ? ?1() iiiimmg x m x x?? ?? ? ?（如圖 2所示），則1()iim g x m ???。 用連續(xù)函數(shù)逼近 R可積函數(shù) 定理 4 設 f 在 ? ?,ab 上可積，求證：對任給的 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的連續(xù)函數(shù) g 和 h ，使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )g x f x h x??，并且 ( ) ( ) d , ( ) ( ) dbbaah x f x x g x f x x??? ? ? ???。 y ()y f x? x a 1x 2x 3x 1nx? b 圖 1 8 記 ? ?1,i i iI x x??， 1,2, ,in? ， inf ( )ii xIm f x??， sup ( )ii xIM f x??，令 ? ?? ?? ?? ?1 0 12 1 21, , , , , , .n n nm x x xm x x xxm x x x??? ?? ??? ??? ??? ?? ?? ?? ?1 0 12 1 21, , , , , , .n n nM x x xM x x xxM x x x??? ?? ??? ??? ?? 則 ( ) ( ) ( )x f x x????， ? ?,x ab? ，那么 1| ( ) ( ) | d | ( ) ( ) | dnbbiiaa ix f x x x x x x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ,| ( ) ( ) | d | ( ) ( ) | dx f x x x x x? ? ? ?? ? ? ?， 即定理得證。 定理 3 設 f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數(shù) ? 和 ? ， 使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????，且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ????， | ( ) ( ) | dba x f x x?????，| ( ) ( ) | dba x f x x????? 。即 ? ? 0fx? ， ? ?,x ab? 時，定積分的幾何意義為該曲邊梯形的面積（圖 1）。在每個小區(qū)間 ? ?1,iixx? 上任取一點 i? ，作以 ? ?if ? 為高， ? ?1,iixx? 為底的小矩形，用這些小矩形的面積近似替代相應小曲邊梯形的面積，這 n個小矩形的面積之和就是該曲邊梯形面積 S 的近似值，即 1 ()niiiS f x????? 1()i i ix x x?? ? ? ， 把分割加密，那么小矩形的面積能更好地替代小曲邊梯形的面積，則所求的 S 就更精確。根據(jù) 定義 3，在區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)任取 1n? 個分點，它們依次為 0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?。取 ? ?1max iinTx????,若0 1lim ( )niiT i fx?? ? ??存在，且這個極 限的存在 7 性和數(shù)值不依賴于分割和 i? 在第 i 個子區(qū)間上的選取 ,則稱函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上黎曼可積。 用階梯函數(shù)逼近 R可積函數(shù) 定義 2 ? ?:,ab? ?R ，如果有分割 0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?，使得在每個子區(qū)間上， ? 為常值函數(shù)，則稱 ? 為 ? ?,ab 上的階梯函數(shù)。當然，我們必須為這一便利付出代價，那就是函數(shù)必須在一定的范圍內(nèi)具有適當高階的導函數(shù)。 2e 1 ( )1 ! 2 ! !nxnx x x oxn? ? ? ? ? ?； ? ? ? ?3 5 2 11 2s in 1 ( )3 ! 5 ! 2 1 !nn nx x xx x o xn??? ? ? ? ? ? ??； ? ? ? ?2 4 21 21c o s 1 1 ( )2 ! 4 ! 2 !nn nx x xx o xn? ?? ? ? ? ? ? ?； ? ?23 1l n ( 1 ) 1 ( )23 nn nx x xx x o xn?? ? ? ? ? ? ? ?； ? ? ? ? ? ?21 1 1( 1 ) 1 ( )2 ! ! nnnx x x x o xn? ? ? ? ? ?? ?