【正文】 應(yīng)的宏觀方程組： 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 10 ? ?? ? ? ? ? ?? ?0Tutu uu p u ut? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? () 其中運(yùn)動粘度系數(shù) ? 的關(guān)系如下 )21(2 ??? ?? tcS () 可以看出，當(dāng)流體密度為常數(shù)且滿足低馬赫數(shù)流動時，式 ()可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)不可壓縮流體的 NS 方程組。 圖 D2Q9 離散速度模型 速度配置如下： 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 9 ( 0 , 0) 0c os ( 1 ) , sin ( 1 ) 1 4222 c os ( 2 1 ) , sin ( 2 1 ) 5 844iie c i i ic i i i????????? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ????? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ??? () 其中， txc ?? /? 為格子速度， x? 和 t? 分別為網(wǎng)格步長和時間步長，在通常情況下 x 方向和 y 方向的網(wǎng)格步長相同，即 x? = t? ，在模擬過程中兩者的取值均為 1。每個格點只與相鄰的 8 個格點接觸， LBGK 方法的思想是，用粒子分布函數(shù)來代表各個格點的流體，在流體流動過程中，在該區(qū)域內(nèi)的流體離散分向 9 個 方向，當(dāng) i=0 時， fi 停留在原地，而當(dāng) i=1~8 時，則粒子將沿如圖 所示的 8 個方向以速度 ei 運(yùn)動，經(jīng)過時間步長 t? 到達(dá)相應(yīng)格點。 在此模型中， 我們將不可壓縮流體流動和一個九速度模型表示在一個二維格子(D2Q9)上，網(wǎng)格采用標(biāo)準(zhǔn)的正方形格子，根據(jù)速度大小和方向，其離散速度配置如圖 所示。 DnQb離散模型 在 DnQb 系列模型中， n 代表空間維數(shù)， b 代表離散速度數(shù)，根據(jù) n 和 b 的不同，可以分為 D2Q D2Q D3Q1 D3Q19 模型等，這些模型中所采用的建?？刂品匠毯推胶鈶B(tài)分布函數(shù)的求解方程形式均相同，區(qū)別在于離散速度的具體配置情況。在LBGK 模型中利用了一個簡單的碰撞算子 i? 代替 LBE 中原有碰撞項： )],(),([1),( )( tftft eqiii xxx ???? ? (i=0， 1， ...， 8) () 式中， ),( tfi x 為速度平衡態(tài)分布方程， ? 為無量綱的弛豫時間，只與流體的物性參數(shù) (如：粘性系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)、流體的質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù)等 )有關(guān)。 格子 BoltzmannLBGK方程 根據(jù)微觀氣體動力學(xué)原理和統(tǒng)計學(xué)方法，可以描述微觀運(yùn)動的格子方程，流體特性由粒子分布函數(shù) ),( tfi x 描述，該函數(shù)給出了虛擬流體質(zhì)點在離散速度 ie 上， t 時刻位于網(wǎng)格點 x 處的粒子密度分布函數(shù)。 單松弛模型或 LBGK 模型是至今應(yīng)用最為廣泛的 LBM 模型，由 Qian， Chen 等人于 1992 年分別獨立地提出的，是用一種簡單的松弛方法來簡化復(fù)雜的碰撞過程。 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 7 2 LBGK模型及邊界處理 LBGK模型介紹 現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展完善的格子 Boltzmann模型中，一般包含了三個部分 [11]：離散速度型，平衡態(tài)分布函數(shù)，分布函數(shù)的演化方程。由于 Bingham 流體本構(gòu)方程本身的不連續(xù)性，對模擬造成了一定的困難，所以模擬中選取了 Papanastasiou 模型，通過模擬直通道中 冪律流體 的流動，并且與解析解進(jìn)行了比較，數(shù)值解與解析解吻合良好。 其次是非牛頓流體 LBM模型的構(gòu)建，包括冪律流體和 Bingham 流體 。 (2) 格子 Boltzmann 方法可以較為直觀地處理流體內(nèi)部 以及流體和周圍環(huán)境的相互作用，從而給多組分、多相態(tài)系統(tǒng)、界面動力學(xué)、滲流等復(fù)雜流動現(xiàn)象的研究提供了方便； (3) 從計算的角度來看， LBE 方法計算簡單，易于用編程實現(xiàn)，具有較好的并行性和可擴(kuò)展性，對于大規(guī)模流動問題的計算具有很大優(yōu)勢。這種特性使得 LBE 方法具有以下幾個顯著特點： (1) 雖然 LBE模型主要用于模擬宏觀連續(xù)流動，但它不是基于連續(xù)模型的 NS方程，而是基于介觀模型，本身沒有連續(xù)介質(zhì)條件的假設(shè)。 從上述分析中可以發(fā)現(xiàn)，格子 Boltzmann 方法是一種不同于傳統(tǒng)數(shù)值方法的流體計算和建模方法。目前LBE 方法一般采用線性化碰撞算子，即 ()eqi ij j ijΩ K f f??????? () 其中 K 是一個 bb 的碰撞矩陣， ()eqif 是依賴于宏觀物理量的平衡態(tài)分布函數(shù)。 演化方程又稱為格子 Boltzmann方程，其中的碰撞算子反映了微觀流體的相互作用。流體的密度 ρ、速度 u 和內(nèi)能 e 可由離散分布函數(shù)的速度矩得到。它描述了具有離散速度的流體粒子分布函數(shù)在一個固定格子上的演化運(yùn)動過程。這一模型完全克服了格子氣自動機(jī)的一系列缺點，因此也是目前最基本且應(yīng)用最廣泛的計算模型 [11]。 19911992 年，一些專家學(xué)者 又 相繼提出了單松弛模型 (SRT 模型 )和 BGK 模型。 將碰撞算子在全距平衡態(tài) ( ),0eqif 處展開， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ( ) , 0 ( ) , 0 ( ) , 012e q e q e qi i i j j i i j k j i k iΩ f Ω Ω ff Ω f f f f? ? ? ? ? ? () 略去高階小量可得簡便形式如下： ? ? ? ? ? ? ? ?( ) , 0 ( ) , 0 ( ) , 0 ( )12e q e q e q n e qi i j j i i j k j i k i i j iΩ f Ω ff Ω f f f f Ω f? ? ? ? ? ? () 取 ()eqiiff? ，同時略去高階小量，可得 ( ) ,1 ( ) ,1 ( ) ,11 02e q e q e qi j i i j k j kΩ f Ω ff?? () 于是得到了一個近似線性化的碰撞算子，其中 K 為線性化碰撞矩陣。其中 ()eqif 是 FermiDirac 分布的展開形式， ()neqif 為非平衡部分。 隨后為了進(jìn)一步 對 LGA方法進(jìn)行優(yōu)化 ， Higuere 和 Jinenez 提出了線性化碰撞算子模型， 近似代替計算量很大的指數(shù)型算子 。 1988 年，McNamara 和 Zati 提出在 LGA中使用布爾變量的統(tǒng)計平均量粒子分布函數(shù)進(jìn)行演化以消除統(tǒng)計噪聲。同時推導(dǎo)出的動量方程不滿足 Galiean 恒定性，并且算子具有指數(shù)復(fù)雜性，對存儲空間也有較為 嚴(yán)格的要求。雖然 LAG方法物理清晰直觀，計算較為穩(wěn)定，但是仍然存在一些問題需要解決。 自格子氣元胞自動機(jī)模型 (Lattice Gas Automata， LGA)出現(xiàn)以來，得到了一定的發(fā)展和進(jìn)步。同年 d’HUmieres、 Lallemand 和 Frisch 提出了四維面心立方模型，即 FCHC 模型。但是 由于正方形格子的非完全對稱性，使得模型中的應(yīng)力張量無法滿足各項同性，對應(yīng)的宏觀方程不能夠表示準(zhǔn)確的非線性以及耗散效應(yīng)。 20 世紀(jì) 70 年代，為了研究流體的輸運(yùn)特性， Hardy、 Pomeau 和 Pazzis 提出了第一個完全離散模型，即 HPP 模型。不同于一般的動力學(xué)模型，元胞自動機(jī)不是由嚴(yán)格定義的物理方程或函數(shù)確定，而是用一系列模型構(gòu)造的規(guī)則構(gòu)成，是一種時間、空間和狀態(tài)均離散的動力系統(tǒng)。由于 LBM 具有演化過程清晰，并行性好，適合大規(guī)模數(shù)值計算等優(yōu)勢，迅速在微納米流體、多孔介質(zhì)和非牛頓流體等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用 [10]。與有限差分法或有限元法等傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法不同，格子 Boltzmann 方法屬于介觀模擬方法。 下面將對格子 Boltzmann 方法 (LBM 方法 )進(jìn)行詳細(xì)的介紹。格子 Boltzmann 方法具有物理意義清晰，程序易于實施，邊界條件處理簡單，模型健壯性高，并行性能好等特點。單個分子的運(yùn)動細(xì)節(jié)并不影響流體的宏觀特性，通過構(gòu)造符合一定物理規(guī)律的演化機(jī)制，讓流體粒子進(jìn)行演化計算，并獲得與物理規(guī)律相符合的數(shù)值結(jié)果。這些粒子的級別比分子要大 。 1957 年， Alerder 和Wainwright 首先 通過硬球模型，采用分子動力學(xué)研究液體的狀態(tài)方程 [5]，從而開創(chuàng)了分子動力學(xué)模擬 (molecular dynamics simulation)的先例。 在微觀層次上，流體是由大量的離散分子組成，分子運(yùn)動特性是由分子間相互作用力以及外加作用力的影響。這些方法的發(fā)展已經(jīng)較為成熟，既可以進(jìn)行物理問題的機(jī)理研究，還可以發(fā)現(xiàn)一些新的物理現(xiàn)象。流體的運(yùn)動滿足質(zhì)量守恒、動量守恒和能量守恒，并由 Euler 方程組、 NavierStokes 方程組等描述。 l 22D 2D 1l 1 圖 突擴(kuò)管的物理模型 從方法論的角度講，對于流體的流動可以分別從 宏觀、介觀和微觀三個層次進(jìn)行。因為產(chǎn)生的分離和再附會引發(fā)渦旋，從而導(dǎo)致壓力的降低和能量的損失。 管道運(yùn)輸中，突擴(kuò)管道中流體的流動是一種常見的實際狀況。管道突擴(kuò)流動在幾何上看似簡單 ， 但由于其流與管道內(nèi)受限射流的相互作用 ， 使得問題變得非常復(fù)雜 。 管道突擴(kuò)流動在化工、生物工程、醫(yī)藥、食品、物料混合、熱交換、燃燒 和 核反應(yīng)等工程實際中被廣泛應(yīng)用 。常見的塑性體有：爛泥、油墨 和 血液等。但這類流體在我們生活中并不常見。人們根據(jù)粘性的不同特性將廣義牛頓流體分為以下幾種情況 [4]： (1)假塑性流體 (Pseudoplastic)：粘性系數(shù)隨著剪切率的增大而減小，也稱剪切變稀流，包含大多數(shù)高分子聚合物的溶液或溶質(zhì)。非牛頓流體中的與應(yīng)力歷史無關(guān)的流體就稱為廣義牛頓流體。而非牛流體的物質(zhì)構(gòu)成遠(yuǎn)比牛頓流體復(fù)雜，反映在粘性上，同一種非牛頓流體的粘性不僅與溫度、壓力等環(huán)境條件有關(guān)，而且還與其流動狀態(tài)有關(guān)，一般很難用單一的系數(shù)來表征其實際的粘性 [3]。對于牛頓流體，剪切應(yīng)力 τ與流速梯度 ????????成線性關(guān)系，即 ?? =177。 因此，非牛頓流體力學(xué)就是研究流體流變學(xué)的科學(xué)，也可稱為流體流變學(xué)。由此可見，我們無時無刻都離不開非牛頓流體，準(zhǔn)確預(yù)測非牛頓流體的流動行為有著不可估量的工程應(yīng)用價值 ， 所以對非牛頓流體的研究具有重大意義。 Suddenexpansion channel. 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 III 目錄 摘要 ............................................................................................................................................. I Abstract ..................................................................................................................................... II 目錄 ...........................................................................................................................................III 1 文獻(xiàn)綜述 .............................................................................................................................. 1 引言 ............................................................................................................................ 1 格子 Boltzmann 方法介紹 ........................................................................................ 3 格子 Boltzmann 方法的發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀 .............................................. 3 格子 Boltzmann 方法的基本結(jié)構(gòu) .................................................................. 4 本文的主要工作 .......................................................