【正文】 其中， i? 為權(quán)系數(shù)， sc RT? 與聲速有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)的 LBGK 方程對(duì)應(yīng)的宏觀流動(dòng)方程如下： 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 16 0)( ???? u????t () )2()()( Su ?????? ????????? puut () 其中 ,2?scp? ,)21(2 tsc ??? ?? T)( uuS ???? () 將作用力表示為勢(shì)函數(shù)的形式，即 ??? ???? aF 。假設(shè)密度空間的變化可以忽略不計(jì)，則可得 )(?????F 。因此，可通過適當(dāng)修改平衡態(tài)粒子分布函數(shù)將狀態(tài)方程修改為 ??? )()( 2 ?? scp () 變換過程如下所示： ??????????????????0],2)()1(1[0],22 )()([22020224222)(icucpicucccpfssssssieqi????????? ueue ii () 這樣就得到了包含作用力 F 的 LBGK 模型。 平衡態(tài)分布的速度校正方法 平衡態(tài)分布的速度校正方法的主要思想是希望改變平衡態(tài)粒子分布函數(shù)中的宏觀速度來研究作用力的影響。假設(shè)發(fā)生一次碰撞的平均時(shí)間是 τδt，則由作用力引起的液體動(dòng)量變化為 Fτδt。為考慮這種影響， ShanChen 模型采用如下平衡態(tài)粒子分布函數(shù)： )?,(? )( u?ieqi Ef ? () 其中 u? 稱為 “ 平衡態(tài)速度 ” t??auu ??? () 為了得到更精確的結(jié)果，流體速度 v 應(yīng)為碰撞前后速度 ?/??i ifieu及?/39。39。 ?? i ifieu = ]1)11[(1 )(? ??? i i eqii ff ii ee ??? 的平均值，即 Feu39。uν i 2)(21 ti if ??? ???? ? () 在演化方程中增加作用力項(xiàng) 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 17 這種作用力模型可用下式表示： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? iteqiiittii Ftftftftf ???? ?????? ,1, )( xxxex () 其中， Fα表示作用在流體粒子上的總作用力 F 的離散形式，它不能直接對(duì)連續(xù)的作用力項(xiàng)進(jìn)行離散處理。這類方法的代表有基于 LGA的模型 (包括 LGA模型和修正的 LGA模型 )、 BuickGreated 模型、 HeShanDoolen 模型、二階矩模型及修正的二階矩模型等 。 格子 Boltzmann 方法的計(jì)算步驟 應(yīng)用 LB 方法模擬具體流場(chǎng)的算法程序流程圖如圖所示。格子 Boltzmann 方法常用的離散模型有 D2Q9(二維正方形網(wǎng)格 )， D2Q7(二維正六邊形網(wǎng)格 )， D3Q15(三維正方體網(wǎng)格 15 點(diǎn)模型 )， D3Q18(三維正方體網(wǎng)格 18 點(diǎn)模型 )等。在計(jì)算開始之前，需要選擇適合的網(wǎng)格類型。 NNYY確 定 L B 模 型賦 初 值 f 0 ( x , t ) , 并 計(jì) 算 相 應(yīng) 的 U , ρ確 定 平 衡 分 布 函 數(shù)內(nèi) 節(jié) 點(diǎn) 進(jìn) 行 碰 撞 及 遷 移 計(jì) 算邊 界 節(jié) 點(diǎn) 僅 進(jìn) 行 遷 移 計(jì) 算選 擇 合 適 的 邊 界 處 理 方 法由 得 到 的 f 0 ( x , t + δ t ) 計(jì) 算宏 觀 物 理 量 U , ρ , P是 否 屬 于 定 常 問 題是 否屬 于定 常判 據(jù)輸 出 各 節(jié) 點(diǎn) 的 宏 觀物 理 量 U , ρ , P程 序 結(jié) 束是 否達(dá) 到要 求時(shí) 步 圖 格子 Boltzmann 算法程序流程圖 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 18 在確立了 DnQb 網(wǎng)格模型后，對(duì)粒子密度分布函數(shù)賦初值并計(jì)算對(duì)應(yīng)的密度和速度，從而確定平衡態(tài)粒子分布函數(shù)，進(jìn)行碰撞和遷移過程。和只進(jìn)行遷移過程的邊界節(jié)點(diǎn)不同，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行碰撞和遷移過程。然后選用合適的邊界條件進(jìn)行邊界處理。常用的邊界條件有周期邊界、反彈邊界、速度邊界、外推邊界等。在完成了邊界節(jié)點(diǎn)的處理后，由得到的粒子分布函數(shù)來計(jì)算速度、密度和壓力等宏觀物理量。至此主要計(jì)算完成。若模擬的物理過程為非定常過程，則需要判斷是否達(dá)到循環(huán)達(dá)到要求次數(shù)來確定輸出結(jié)果還是繼續(xù)循環(huán)。若流場(chǎng)屬于定常問題，則需要判斷相鄰時(shí)間步長(zhǎng)的各物理量是 否達(dá)到收斂條件，若滿足收斂判據(jù)，則輸出結(jié)果，否則，繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)。 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 19 3 非牛頓流體的格子 Boltzmann 模型 非牛頓流體概述 非牛頓流體的基本特征 流動(dòng)是一種連續(xù)變形的運(yùn)動(dòng)，通常把不符合牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱為非牛頓流體。物體受外力作用，當(dāng)外力除去后能恢復(fù)原狀的變形，則稱為彈性變形，不能恢復(fù)原狀的變形稱為塑性變形。有的非牛頓流體既有粘性又有彈性，稱為粘彈性流體。非牛頓流體的種類很多，如血液、蛋白液、油漆、泥漿以及高分子聚合物的溶液等。還應(yīng)該指出的是，非牛頓流體一般均為液體，也就是不可壓縮流體。 非牛頓流體的粘性 流體的分子結(jié)構(gòu)決定流體的粘性。牛頓流體的額分子結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，所以用牛頓內(nèi)摩擦定律表征的粘性系數(shù)是溫度與壓力的函數(shù)，與流動(dòng)狀態(tài)無關(guān) 。 非牛頓流體的物質(zhì)構(gòu)成要比牛頓流體的要復(fù)雜得多。在粘性的反映上，非牛頓流體的粘性不僅與溫度、壓力有關(guān)，而且還與流動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，一般來講很難用單一的系數(shù)表征其實(shí)際的粘性，通常情況下，以牛頓內(nèi)摩擦定律為模式來定義非牛頓流體的粘度，用a? 來表示： a ?? ?? () ? 為剪切應(yīng)力， ? 為剪切速率， a? 稱為非牛頓流體的表觀粘度。這里不同于牛頓流體，其中 a? 不是常數(shù)，而是剪切速率的函數(shù)。根據(jù)表觀粘度隨剪切速率而變化的關(guān)系可將非牛頓流體分為：假塑性流體、脹塑性流體、粘塑性流體、觸變性流體和粘彈性流體。 非牛頓流體的彈塑性 非牛頓流體一般為液體，屬于不可壓縮流體。以牛頓流體的觀點(diǎn)而言，不可壓縮流體是沒有彈性的，流體的流動(dòng)變形是不能恢復(fù)的，但是，許多非牛頓流體不僅具有粘性，而且還有彈性，這就是說，非牛頓流體的變形，既有不可恢復(fù)的變形部分，也有可恢復(fù)的變形部分，在流動(dòng)變形過程中，具有彈性恢復(fù)效應(yīng)，或出現(xiàn)應(yīng)力松弛現(xiàn)象，這種非牛頓流體稱為粘彈性流體。 在外力作用下，固體一般先產(chǎn)生彈性變形，當(dāng)應(yīng)力超過屈服極限時(shí)就產(chǎn)生塑性變形，不是有任意微小剪切力作用，就會(huì)產(chǎn)生流動(dòng)變形，它有一個(gè)屈服限，稱為屈服應(yīng)力。當(dāng)剪切力小于屈服應(yīng)力時(shí)，此類流體是不會(huì)流動(dòng)的，只有當(dāng)剪切應(yīng)力超過屈服應(yīng)力值時(shí)候， 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 20 此類流體才會(huì)流動(dòng)，像牛頓流體一樣流動(dòng)，這種流體稱為賓漢姆 (Bingham)流體 [16]。 在 LBM 中，對(duì)于非牛頓流體，由于其運(yùn)動(dòng)粘度與剪切速率有關(guān)，所以每個(gè)格子節(jié)點(diǎn)的粘度都要根據(jù)與剪切速率關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算出粘度之后，才能得出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的松弛時(shí)間。以下，給出兩種非牛頓流體的本構(gòu)方程。 冪律流體與賓漢姆流體本構(gòu)方程 許多種非牛頓流體的實(shí)驗(yàn)表明，剪切應(yīng)力雖然與剪切變形速率不呈線性函數(shù)關(guān)系，但是可以表示為簡(jiǎn)單的冪函數(shù)關(guān)系。在簡(jiǎn)單的剪切流動(dòng)中，本構(gòu)方程只需要剪切應(yīng)力 ?與剪切變形速率 k 來表示即可。這類流體的本構(gòu)方程是 nK?? ?? () 式中， ? 為剪切應(yīng)力； K 為稠度系數(shù)，或稱冪律系數(shù)，是粘度的度量，其隨著粘度的增大而增大； n 代表流性指數(shù)，又稱冪律指數(shù)，反映偏離牛頓流體的程度。適用于這類本構(gòu)方程的流體稱為冪律流體。工程應(yīng)用中常將 ()式改寫成類似牛頓流體的本構(gòu)方程 ??? ?0? () 式中 ?? ? 10 ?? nK () 稱為冪律流體的表觀粘度。表觀粘度是剪切變形速率的函數(shù)。當(dāng) n=1 時(shí)，流體即為牛頓流體。當(dāng) n 值越低或越高，非牛頓性越強(qiáng)，切應(yīng)力與剪切速率曲線也越彎曲。當(dāng) n1時(shí)，流體表觀粘度隨剪切變形速率的增大而減小，稱這種流體為假塑性流體，也稱為剪切稀化流。當(dāng) n 1 時(shí)，表觀粘度隨剪切變形速率的增大而增大，稱為膨脹型性流體，也稱為剪切增稠流。 賓漢流體的表觀粘度為： () 可以看出，賓漢流體的表觀粘度是隨流速梯度而變化的。 賓漢姆塑性體是一種簡(jiǎn)單的也是比較常見的粘塑性流體，根據(jù)塑性流體的流變曲線，可以寫出如下關(guān)系式 : () 式中： ? 為極限動(dòng)切應(yīng)力， p? 稱為結(jié)構(gòu)粘度 (或稱塑性粘度 )。上式稱為賓漢方程，符合賓漢方程的流體稱為賓漢流體，塑性流體也稱為賓漢流體。 對(duì)于賓漢流體而言，當(dāng)其所受到的切應(yīng)力 ? 小于屈服應(yīng)力時(shí)，流體表現(xiàn)出固體性質(zhì)，pyuyu ???? ???dddd 0yup dd0 ??? ?? 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 21 不會(huì)流動(dòng)。當(dāng)切應(yīng)力大于屈服應(yīng)力之后，流體開始流動(dòng)，其剪應(yīng)力與剪切速率的關(guān)系與牛頓流體類似。 可將 Bingham 流體的本構(gòu)方程寫成 t r T21 0 t r T21 2202120210p????若若）（??????DDT () 式中， τ0 屈服應(yīng)力； ηp 塑性黏度。其中 是 D1的不變量，通常定義 為 )(2 21Dtr??? () 實(shí)際上不能精確的確定 ，它的值可能依賴于用于確定它的儀器。 將 Papanastasiou(修正的賓漢姆 )模型引入 LBM 模擬中，為了克服不連續(xù)性這一缺點(diǎn)，Papanastasiou 等對(duì)式本構(gòu)方程進(jìn)行了修正，使其變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，其表達(dá)式為 ????? ? ??? ???????? ??? ? 0)1( mB e () m 應(yīng)力增強(qiáng)指數(shù) (正則化參數(shù) )，通過引入一個(gè)應(yīng)力增強(qiáng)指數(shù) m 用來避免方程的不連續(xù)性問題。對(duì)于足夠大的 m 值，兩者近似，式 ()可以用來代替賓漢姆流體的本構(gòu)方程。此外，還可以看出，當(dāng)屈服應(yīng)力 τ0等于 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的本構(gòu)方程和牛頓流體的本構(gòu)方程相一致。結(jié)合冪律流體，可以看出牛頓流體只是非牛頓流體的一種特殊形式。 在非牛頓流體的 LBM 中，還需要計(jì)算剪切速率 ? ， ? 定義為 2 : 2DD? ? ? ?? ? ? ?? () ??D 是變形張量比率， ? 是 ??D 的第二不變量。下標(biāo) ? 和 ? 表示笛卡爾坐標(biāo)。 在 LB 的框架里， ??D 可以按照下面的公式計(jì)算， ,),(),(2 380)1( ???? ? iii i eetftD xx ???? () ),(),(),(),( )()()1( tftftftf eqiin e qii xxxx ??? () ),()1( tfi x 表示粒子分布函數(shù)的非平衡部分。這樣，我們可以從粒子分布函數(shù)的非平衡部分直接計(jì)算局部剪切速率在二階精度上。方程 ()、 ()讓我們避免計(jì)算速度的導(dǎo)數(shù)，將其化繁為簡(jiǎn)。尤其，消除計(jì)算速度導(dǎo)數(shù)的需要成為一個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)在計(jì)算復(fù)雜流動(dòng)通過流道的固體障礙時(shí)。我們注意方程 ()同時(shí)包含 ),( tx? 。在 Dαβ的計(jì)算過程中，Dαβ估算基于之前所得的物理量，碰撞項(xiàng)中的 ? 是從表觀粘度 ),( tx? 計(jì)算得到。 ?? ??0? 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 22 非牛頓流體 LBM模型的計(jì)算過程 自此，冪律流體和賓漢姆流體模型介紹完畢，通過 LBGK 模型，以及邊界處理，再加上作用力模型 ， 即可模擬非牛頓流體的一些物理現(xiàn)象。格子 Boltzmann 算法 (LBM)流程圖如圖 所示，值得注意的是，非牛頓流體的松弛時(shí)間 ? 會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)粘度的變化而變化，因此在每個(gè)節(jié)點(diǎn)都需要進(jìn)行松弛時(shí)間等的計(jì)算。 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 23 4 二維直通道內(nèi)冪律流體流動(dòng)的 LBM模擬 本章主要利用 LBM 方法研究?jī)缏闪黧w在二維直通道內(nèi)的流動(dòng)規(guī)律。通過改變冪律指數(shù) n 來考察不同冪律流體的流動(dòng)特性 (n1 為假塑