【正文】 reAeU ????? ? 邊界條件為： 可解出： 從而圓球繞流的斯托克斯流動(dòng)的流場(chǎng)為： 其壓強(qiáng)場(chǎng)由（ 427）式代入 C值可得： 圓球受到流體作用于它上面的力 說(shuō)明受力方向與來(lái)流一致，為阻力。這就是著名的斯托克斯關(guān)于均勻流中球體阻力的公式，它是在雷諾數(shù)很低的情況下成立的。 10。0。eUururr??????443300rUArUC?????][43]3[4 310513301 r rxrerUr rxrerUeUu ????? ???3103103 23)43(22rxrUrxrUrrCp?? ?????? ????1010 6)43(88 erUerUCF?? ?????? ??????? 如果令： 為阻力系數(shù)，則斯托克斯關(guān)于均勻流中球體的阻力系數(shù)為 對(duì)斯托克斯流動(dòng)的眾多研究成果都表明，不同形狀物體的阻力都是與來(lái)流流速，流體的粘性系數(shù)以及物體的特征尺度成正比，只是正比常數(shù)各有區(qū)別，例如，半徑為 r0的薄圓盤(pán)所受的阻力為： 當(dāng)圓盤(pán)正面向前運(yùn)動(dòng)時(shí) 當(dāng)圓盤(pán)側(cè)緣向前運(yùn)動(dòng)時(shí) 可見(jiàn)盡管圓盤(pán)與圓球的形狀有顯著差別，但其阻力比圓球只分別低 15%和 43%。這說(shuō)明斯托克斯流動(dòng)中繞流物體所受阻力對(duì)物體的形狀不太敏感，因而對(duì)于與球形相差不多的沙粒，塵埃，細(xì)胞等完全可以用圓球的斯托克斯阻力公式估計(jì)其阻力。 AUFCD 221???Re24?DC0033216UrFUrF??????434 奧辛近似 另一個(gè)低雷諾數(shù)的近似解為奧辛近似。粘性的影響往往主要表現(xiàn)在物體壁面附近的薄層內(nèi)，隨著距離物面的距離加大，粘性作用逐漸下降。以至在一定距離處粘性力項(xiàng)終于下降到與慣性力項(xiàng)相同的數(shù)量級(jí)，甚至更小，斯托克斯方程已經(jīng)不能使用。為此，奧辛部分地考慮了 NS方程中的慣性項(xiàng)，但又不使它們成為非線性項(xiàng)，假定： 式中 為無(wú)窮遠(yuǎn)處自由流速， 為擾動(dòng)速度，均較 甚小，這一假定在很接近物面處當(dāng)然不成立。于是 NS方程的慣性項(xiàng)可以分解為兩部分： 39。39。39。 , wvu?U39。39。39。 。 wwvvuu ???,..., . . . , 39。39。39。39。39。39。 xvuxuuxvUxuU ???????? ?? 和?U 其中第二部分中的 等項(xiàng)為二階小量，與第一部分各相比可以忽略。這樣， NS方程寫(xiě)為： 邊界條件與 NS方程相同。奧辛使 NS方程線性化既不像斯托克斯那樣使遷移速度為零，也不用當(dāng)?shù)厮俣萿而是使用自由流速度 ，而自由流速度為常數(shù)。根據(jù)奧辛近似方程的解可以求得圓球繞流的阻力系數(shù)為： xuu ??39。39。?U）（ Re1631Re24 ??DC??????????????????????????????????????????????39。239。39。39。239。39。39。239。39。111wzptwUtwvyptvUtvuxptuUtu??????第五章 邊界層理論 51 邊界層概念 邊界層是粘性流動(dòng)中固體壁面附近粘性起主導(dǎo)作用的一薄層流體層。 如設(shè)一極薄平板，順流放置于均勻平行流動(dòng)中，與為受擾動(dòng)的來(lái)流流速 平行。粘性流體流經(jīng)平板時(shí)，僅靠板面的流體質(zhì)點(diǎn)粘附板上，其速度與平板壁面相同，此處平板靜止不動(dòng)，通過(guò)粘性作用，流體質(zhì)點(diǎn)之間將存在內(nèi)摩擦阻力，是平板兩側(cè)的流體逐漸減慢，形成壁面附近很大的流速梯度。這一流動(dòng)區(qū)域稱為邊界層，如圖51所示。通常定義當(dāng)?shù)亓魉?u(x,y)等于 y值為邊界層厚度 δ， 也叫邊界層名義厚度。 UE為當(dāng)?shù)乇诿嫣幍挠袣W拉方程解得的勢(shì)流流速。 ?UEUxu ),( ?? 52邊界層厚度 521邊界層名義厚度的量級(jí)估計(jì) 若將平板上各點(diǎn)除邊界層外邊緣點(diǎn)連接起來(lái)形成一條邊界層的外邊緣線如圖 51中虛線表示。邊界層的厚度隨距平板前緣的距離增加而增厚，說(shuō)明邊界層厚度沿流程逐漸發(fā)展， 。當(dāng)來(lái)流為均勻平行流動(dòng)，流動(dòng)無(wú)渦。但對(duì)于粘性流動(dòng)由于平板壁面的存在，在邊界層內(nèi)產(chǎn)生流速梯度 ，從而在平板壁面上產(chǎn)生渦量 ，渦量從壁面向外傳播的范圍所及就是邊界層?？梢?jiàn)粘性流動(dòng)流場(chǎng)中的固體壁面是渦量產(chǎn)生的源泉。旋渦同時(shí)也被流動(dòng)帶向下游。旋渦向下游 x方向傳播的速度取決于來(lái)流流速 ,而旋渦向 y方向擴(kuò)散的速度可以由 看出，但雷諾數(shù)表示為： 時(shí)，可見(jiàn)雷諾數(shù)表示渦旋向下游傳播速度的平方與 y方向 )(x?? ?yu?? yu??????Utvtvvtdtddtd ~21~ ??222 ~?????????dtdUtvUUtvULvUvUL? 傳播速度的平方之比。雷諾數(shù)越大，渦旋向 y方向傳播速度越小于向下游傳播速度，邊界層厚度越薄。由此可見(jiàn)，大雷諾數(shù)情況下，流場(chǎng)可分為兩部分，一部分為無(wú)渦的勢(shì)流，另一部分為粘性起主導(dǎo)作用的有渦流動(dòng)區(qū)域，即邊界層流動(dòng)。大雷諾數(shù)的流動(dòng)繞過(guò)任何形狀的物體都會(huì)發(fā)生邊界層流動(dòng)。在接近繞流物體的尾部，由于存在逆壓強(qiáng)梯度，壓強(qiáng)沿流程增加，而是邊界層自物體壁面分離并在物體下游形成尾流區(qū)。 U∞ U∞ U∞ x y o δ(x) 圖 51 粘性流體流經(jīng)平板的流動(dòng)情況 LVV ?? 22 ~???Re~LVL ?????粘性力與慣性力相當(dāng)，則有： 由此得： Re1~L?所以： 由此可見(jiàn)，在高雷諾數(shù)的條件下，邊界層厚度遠(yuǎn)小于被繞物體 的特征長(zhǎng)度，即 這與試驗(yàn)結(jié)果相符。 1??L? 在邊界層研究中有不同的雷諾數(shù)的定義，一般的作為整個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)為 。式中 為無(wú)窮遠(yuǎn)處為受擾動(dòng)的來(lái)流流速， L為繞流物體的某一特征長(zhǎng)度，如平板的長(zhǎng)度，圓柱或圓球的直徑等。 對(duì)于邊界層常定義： 為邊界層雷諾數(shù)， x為沿邊界層坐標(biāo)自繞流物體前緣算起的距離。邊界層雷諾數(shù)還常定義為： 由于 ，因此 Rex與 Reδ 之間又確定的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)邊界層雷諾數(shù)增達(dá)到一定數(shù)值后流動(dòng)可從層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?。有層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯狞c(diǎn)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)。 ?UvLU??Rev xUx ??RevU ?? ??Re)(x?? ? 522 邊界層排擠厚度 在固體壁面附近的邊界層中，由于流速受到壁面的阻滯而降低，使得在這個(gè)區(qū)域內(nèi)所通過(guò)的流量較之理想流體流動(dòng)時(shí)所能通過(guò)的流量減少，相當(dāng)于邊界層的固體壁面像流動(dòng)內(nèi)移動(dòng)了一個(gè)距離 δ1后理想流體流動(dòng)所通過(guò)的流量。這個(gè)距離 δ1稱為邊界層位移厚度。如圖相當(dāng) OAB面積的流量與 BCD面積的流量二者相等。 根據(jù)定義： 即為位移厚度的定義及計(jì)算公式。 ?????????010)1()(dyUudyuUU????o A B u U E c U y D δ1 圖 52 邊界層位移厚度 523邊界層動(dòng)量損失厚度 邊界層內(nèi)流速的降低不僅使通過(guò)的流體質(zhì)量減少，而也是通過(guò)的流體動(dòng)量減少了。邊界層中實(shí)際通過(guò)的流體動(dòng)量為 ，如果這些質(zhì)量通量具有的動(dòng)量為 ，則二者相差相當(dāng)于將固體壁面向流動(dòng)內(nèi)部移動(dòng)一個(gè) δ2的距離，即： δ2即稱為動(dòng)量損失厚度或簡(jiǎn)稱為 動(dòng)量厚度。圖中水平陰影部分面 積為位移厚度 δ1， 豎向陰影部分 面積為動(dòng)量損失厚度 δ2。 與 和兩坐標(biāo)軸間所形成矩形 的面積即為邊界層厚度。面積比 較可得： ???????????????02002022)1()(dyUuUudyuUudyuu Ud yU???????Uu??y??? ?? 12??0 2dyu? ??0 uUdy? 0 y δ u/U(1u/U) 1u/U u/U u/U U 圖 53 邊界層內(nèi) u/U,(1u/U),u/U(1u/U) 524 邊界層能量損失厚度 邊界層內(nèi)的流速降低同樣使流體的動(dòng)能通量也減小了。能量損失厚度定義為： 由能量厚度可以計(jì)算流動(dòng)的水頭損失。邊界層外的勢(shì)流區(qū)不會(huì)由能量損失，能量損失完全產(chǎn)生于邊界層內(nèi)。單寬重量流體的動(dòng)能損失為流速水頭損失 ， 式中 q為二位流動(dòng)是單位寬度過(guò)水段面的體積流量。 dyudyuUU ?? ?? ?? 0 30 233 212121 ????dyuuU? ? ?? 0 32 )(21 ?? ? ??? 0 223 )1( dyUuUu?3333221)( ????gqUqUxh f ??)(xhf525 舉例 為了形象地說(shuō)明邊界層幾個(gè)厚度的關(guān)系，先對(duì)一個(gè)邊界層內(nèi)流速為線性分布的典型情況進(jìn)行分析，如圖 54 。設(shè)流速分布為： 則 定義 為邊界層形狀參數(shù)， 則此時(shí) 。 ??????????416121)1()1(32001?????????? dyydyUuyUu2112 ???H ?Hδ δ2 δ3 δ1 U u u o y 圖 54 邊界層各種厚度的比較 53不可壓縮層流邊界層基本方程和邊界條件 531 平壁面層流邊界層基本方程 （ 51） （ 52） （ 53） 為了簡(jiǎn)化此方程組，首先對(duì)它進(jìn)行無(wú)量綱化。根據(jù)邊界層流動(dòng)的特點(diǎn)，可以選取 L 、 δ 及 U分別為 x,y及 u的特征值，并且可知： 0)(1)(122222222??????????????????????????????????????????yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutu??????Re~~~0ee uLudyxuv ????? 故可取 為 v的特征量。當(dāng)邊界層中沿流動(dòng)方向的壓力梯度與慣性力具有相同量級(jí)時(shí)，則有 于是可取 為 p的特征量。我們假定在邊界層中， t具有 L/ue的量級(jí)。用這些特征量去度量各相應(yīng)的物理量，則可得