【正文】 （ 311） 寫為張量形式為 或 （ 312） ),(),(321321nnnnpppp??n333223113333222211223312211111nnnpnnnpnnnp??????????????????????????????333231232221131211??????????? ijij?ij?ij???? npjjii np ?? 于是動量方程式可寫為： 此即為拉格朗日型積分形式的動量方程。由雷諾第二輸運方程，此式改為： 即歐拉型積分形式的動量方程。令 e代表單位質(zhì)量流體所具內(nèi)能， 則為單位體積流體所具內(nèi)能。能量守恒原理可表示為： 單位時間內(nèi)外力作功為： 由高斯公式，表面力作功可寫為積分形式： 式中 I=1,2,3,j=1,2,3。 （ 2） ， q為熱通量向量，負號表示熱的流通與外法線方向 相反，即熱量進入系統(tǒng)。由牛頓流體本構(gòu)方程式得到： （ 319） 將（ 319）代入（ 313 ）式得： （ 320） 此即牛頓流體的運動方程，稱為納維 斯托克斯方程，簡稱 NS方程。 jjiii xfdtdu ???? ?????? 32,0 ???vijijij eup ???? 2)32( ??????)]([)32(ijjijiii xuxuxupxfdtdu ?????? ????????? ???? 當 為常數(shù)時 （ 321） 對于不可壓縮流動， ，則 （ 322） 對于不可壓縮的理想流體， ，則 為歐拉方程 （ 323） )()(32 2 uxxx uuxxpfdtduijjiiiii ??? ???? ????? ?????? ?????)](31[ 2 uxxx uxpfijjiii??????? ?????? ???0??? uupfdt udxx uxpfdtdujjiiii 22 ?????????????? ?????? 或0,0 ???? ?upfdyud ???? ??38 納維 斯托克斯方程的邊界條件和初始條件 331邊界條件 在連續(xù)介質(zhì)假定下，由試驗所確定的粘性流動的邊界條件為：在流體與固體的交界面處流體與固體無相對滑移。 1 固定邊界處 如果固定邊界的速度為 U,則流動的邊界條件為： u=U （ 324） 在無窮遠處，流場應(yīng)與未擾動流體的狀態(tài)相銜接，如未擾動流體為靜止狀態(tài)，則當 時，考慮熱效應(yīng)，則一般邊界條件為：在邊界處，溫度 T為常數(shù)或邊界溫度梯度 為常數(shù)， n為邊界外法線方向。 3液體和氣體的分界面 最常見的為液體與大氣的分界面，稱為自由水面。 可以看出自由水面上的流體質(zhì)點 在平均自由面的垂直方向上的速度等 于自有水面的垂直波動速度。法向應(yīng)力，包括壓強和自由表面張力而應(yīng)起的液面壓力則必須連續(xù)。 有些情況下還需給定進出口斷面上的速度，壓強和溫度的分布。 39 粘性流動的相似律 令 V0,L0,p0,t0,ρ0,μ0,g0分別代表流速，長度，壓強、時間，密度，粘度，重力加速度的特征值從而組成各物理量的無量綱量如下： （ 330） 當質(zhì)量力只考慮重力的作用，不可壓縮流體二維流動的 NS方程為： （ 331） 各項物理量改為無量綱量，然后以 除各項得： （ 332） 00000000ppptttVuuLxxiiii????000000?????????ggg020LV00020000000002000000200000000000 1jjiiijiji xx uLVxpVpxhgV LgxuutuVt L ?? ?????????????? ??? ???jjijjjiji xx uxpxhgxuutu ?? ?????????????? 21 ?? 式中由特征物理量組成了幾個重要的無量綱量： 稱為斯特勞拉哈爾數(shù) （ 333） 稱為弗勞德數(shù) （ 334） 稱為雷諾數(shù) （ 335） 稱為歐拉數(shù) （ 336） 由此，上式可改為： （ 337） 如果兩個流動相似，則由無量綱所表示的方程式應(yīng)相同。 EVpLVFrlgVStVtL????20000000000000Re???000200000000200000Re111jjiiijijixxuxpExhgFrxuutuSt???????????????????第四章 粘性流動的若干特解 41平行流動 平行流動是流動中最簡單的一種情形。 設(shè)三個坐標方向的分速度為 u,v,w。由連續(xù)方程 可知 ，也就是說流速分量 u在x方向并不變化。 0????????? zwyvxu0???xuuxpzuwyuvxuutu 21 ????????????????? ??)(1 2222 z uy udxdptu ?????????? ?? 411 庫埃特流動 上下兩平行平板所組成的槽道內(nèi)充滿了粘度為 μ 的不可壓縮流體的流動，上平板以速度 U相對于下平板運動。式（ 42）可寫 為： (43) （ 43)式為 x方向的 NS方程，它說明 只能是 y的函數(shù)而與 x無關(guān)。為同時滿足這兩方面要求 只能等于常數(shù)。 z方向為無窮長，流動為二維的。層流的圓管流動如圖，采用圓柱坐標， ，只有 x方向的流速 存在。由（ c） 式可知 只能是常數(shù)。 再積分上式： 當 。 ???84020rCurQm ???820rCum ??420m a xrCu ?42 運動平板引起的流動 421突然加速平板引起的流動（斯托克斯第一問題） 對于非恒定的平行流動，最簡單的例子是一個在半無限空間靜止的平板突然起動，沿其自身平面加速至某一固定速度 U。設(shè)板長為無窮， NS方程化簡為線性方程： （ 416） 此為經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程，兩個自變量為 x,t。由連 續(xù)方程知 ，且整個流場中 壓強為常數(shù) p=p0=const。 22yutu ????? ?),(,0 tyuuwv ???0???xuy p=p0 U0 x 圖 45 斯托克斯第一問題 邊界條件為： （ 417） 令 為無量綱坐標，并假設(shè)： 則（ 416）變?yōu)?常微分方程： 邊界條件變?yōu)椋? 常微分方程的解為： （ 418） erf為誤差函數(shù)， erfc為補償函數(shù)，其數(shù)值可查有關(guān)于手冊。39。 ?? ff ?0, 1,0 ??? ?? ff???er fcUu 0?? ????? ???? 0 2 )e x p (211dzze r fe r f c 當 ，這說明平板突然加速至 U0由于粘性而帶動周圍流體運動形成的流速場中，只有在 的薄層流動內(nèi)流速大于 U0的百分之一，而在 以上的流層流速只有 U0的百分之一以下，可以看作沒有影響或影響很小。這部分流層可稱為邊界層，其厚度為 ： 圖 26 表示 沿 η的分布。平板上部半無限