【正文】 2),( Sctp x?? () 模型中宏觀密度 ),( tx? 和和速度 ),tu(x 可以分別由 ),( tfi x 定義： ),(),( 80 tft i i xx ???? () ),(),( 1), 8 0 tftt ii xexu (x i??? ? () 使用 ChapmanEnskog 方法展開便可推導(dǎo)出該模型所對應(yīng)的宏觀方程組： 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 10 ? ?? ? ? ? ? ?? ?0Tutu uu p u ut? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? () 其中運動粘度系數(shù) ? 的關(guān)系如下 )21(2 ??? ?? tcS () 可以看出，當流體密度為常數(shù)且滿足低馬赫數(shù)流動時，式 ()可以轉(zhuǎn)化為標準不可壓縮流體的 NS 方程組。事實上，無論是導(dǎo)出的 LBGK 方程的泰勒展開還是以上的推導(dǎo)過程，都有一個共同的假設(shè)，那就是馬赫數(shù)即 Ma 充分小，上述 LBGK 模型的結(jié) 果只限于流體的低馬赫數(shù)流動過程，在流體力學(xué)中一般講 Ma 小于 的流動視為不可壓縮的，因此除了壓力項外，密度為常數(shù)。換言之， LBGK 方法實際上是求解不可壓縮流體 NS 方程的一種人工壓縮法。 以下列出常見的 DnQb 模型離散速度、格子聲速 (假定 c = 1)和權(quán)系數(shù)的參數(shù)值。 (1) D1Q3 模型： ? ?1,1,0 ??ie 3,31,32 210 cc s ??? ??? () (2) D1Q5 模型： ? ?2,2,1,1,0 ???ie cc s ???? ?? ,61,61,32 43210 ??? () (3) D2Q7 模型： ?????? ?????? 23 2123 210123 2123 210100ie 2,121,32 610 cc s ??? ??? () (4) D2Q9 模型： ?????? ??????? 111111111001100100ie 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 11 3,361,91,94 85410 cc s ???? ?? ??? () (5) D3Q15 模型： ??????????????????????????111111111111111111111111100100010010001001000ie 3,721,91,92 147610 cc s ???? ?? ??? () (6) D3Q19 模型： ??????????????????????????110110110110101101101101011011011011100100010010001001000ie 3/,36/1,18/1,3/1 187610 cc s ???? ?? ??? () 初始條件及邊界條件處理 初始條件和邊界條件是流體力學(xué)研究中的重要課題，一般說來，初始條件和邊界條件總是按著宏觀量 (壓力、速度、溫度 )給出，但在 LBM 中基本變量是分布函數(shù)，雖然根據(jù)分布函數(shù)可以簡單的確定宏觀流動變量，但是根據(jù)宏觀量確定分布函數(shù)卻不簡單，因此如何根據(jù)給定的初始和邊界條件構(gòu)造離散分布函數(shù)的相應(yīng)條件，是 LBM 用于實際計算的前提，大量實驗研究表明，實現(xiàn)初始和邊界條件的不同方法對 LBM 的計算精度、數(shù)值穩(wěn)定性和計算效率都有很大的影響?？梢?，初始和邊界條件的處理是 LBM 的基本問題，本節(jié)將介紹如何確定初始和邊 界條件 初始條件 對穩(wěn)態(tài)和準穩(wěn)態(tài)流動，初始條件對最終結(jié)果影響不大，此時一般可以將分布函數(shù)設(shè)平衡態(tài)，即 ? ?000 , Tuff eqii ?? ，其中的參數(shù)是初始時刻的宏觀變量，但對非穩(wěn)態(tài)和對初始條件敏感的強非線性流動 (如湍流、多相流等 )，如何準確實現(xiàn)初始條件非常關(guān)鍵，目前 LBE 方法的初始化有兩類方法，一種方法是非穩(wěn)態(tài)校正法，最初由 Skordos P 針對等溫的單松弛 BGK 模型提出 [13]，該方法利用 ChapmanEnskog 技術(shù)展開，通過對分布函數(shù) 求解獲得高階項 近似，進而可以得到近似的計算式。另一種方法是迭代 計算方法 [14]，其主旨是借助格子 Boltzmann 方程求解初始壓力對應(yīng)的 Poisson 方程，并未相應(yīng)的分布函數(shù)賦初值，由此獲得與速度場相匹配的初始分布函數(shù)。 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 12 邊界條件處理 與初始條件類似，在應(yīng)用模型時也需要給出分布函數(shù)的邊界條件，對于流動問題和傳熱問題，邊界條件起著非常重要的作用，直接影響并決定整體數(shù)值的計算精度、穩(wěn)定性和計算效率 [15]。以穩(wěn)態(tài)問題為例，當系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，流場和溫度場與初始條件無關(guān)，而主要取決于邊界條件。在格子 Boltzmann 方法中，邊界條件同樣起著重要作用，給定一個初始條件和邊界條件，就可以給出離散粒子分布函數(shù)的一些對應(yīng)條件。邊界條件處理的方式對計算的效率、計算數(shù)值的穩(wěn)定性和計算結(jié)果的精度都有很大影響。 應(yīng)用 LBM 進行數(shù)值模擬，通過每個時間步長的碰撞和遷移過程可以得到內(nèi)部節(jié)點的粒子分布函數(shù)，而邊界節(jié)點上的粒子分布函數(shù)還并未全部已知，只有確定了邊界節(jié)點上的粒子分布函數(shù)，才能進行下一階段的計算。因此，需要從已知的宏觀上的邊界條件來試圖確定邊界節(jié)點上的粒子分布函數(shù)，在這個過程所應(yīng)用的方法稱為格子 Boltzmann方 法的邊界處理方法，所設(shè)計出的計算格式稱為邊界處理格式。 根據(jù)格式處理方法可以分為啟發(fā)式格式，動力學(xué)格式和外推格式，根據(jù)邊界條件的類型可以分為速度邊界和壓力邊界，其中速度邊界包括了平直邊界和曲面邊界。本文主要應(yīng)用的是平直邊界格式，下面介紹幾種常用的邊界格式。 (1) 啟發(fā)式格式 啟發(fā)式格式主要根據(jù)邊界上的宏觀特性，如對稱性，周期性，充分發(fā)展等，通過粒子的運動規(guī)則來確定邊界節(jié)點的粒子分布函數(shù)，與其他的邊界處理格式相比，他不需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和公式求解，啟發(fā)式格式主要包括周期性邊界處理格式、對稱邊界處理格 式、充分發(fā)展邊界處理格式，以及適用用于固體表面的反彈格式、鏡面反射格式、反彈與鏡面反射混合格式等。 周期性邊界處理格式：數(shù)值模擬時，如果流場在空間內(nèi)呈現(xiàn)周期性變化或在某一方向無限大時，則可以將周期性單元取出作為模擬區(qū)域，并在相應(yīng)的那些邊界上采用周期性邊界。能嚴格保證整個模擬區(qū)的質(zhì)量和動量守恒，是一種最容易實現(xiàn)的邊界處理格式，其基本思想是假設(shè)粒子從一端離開流場后，在下一個時間步長以由其相反的另一端對稱位置進入流場另一邊界，整個計算區(qū)域保持封閉再循環(huán)。周期性邊界處理格式相比于其他常用的邊界處理格式，在數(shù)值計算的 穩(wěn)定收斂性方面保持最好。 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 13 tt+tt+ 圖 周期邊界示意圖 對稱邊界處理格式：對于對稱性問題，處于節(jié)約資源的考慮，可以取其物理模型的一半作為模擬區(qū)域，并在對稱軸上采用對稱邊界處理格式。 充分發(fā)展邊界處理格式：針對的是流體在管內(nèi)流動達到充分發(fā)展段后，此時流體的速度和密度在主流方向上都不再發(fā)生改變，因而可以采用這種數(shù)值穩(wěn)定性較好的邊界處理格式。 反彈邊界處理格式：也成為無滑移壁面邊界處理格式，是常用來處理簡單邊界 (如固體壁面 )的格式，也是一種典型的處理靜止流體與固體接觸面邊界處理格式。包括標準反彈格式、半步長反彈格式及修正反彈格式?；舅枷胧羌僭O(shè)壁面處的流體粒子宏觀速度為零，該格式假設(shè)粒子以一個速度到達邊界，并在下一時間步長以相同的速度原路返回，此過程中沒有能量損失，且邊界節(jié)點不發(fā)生碰撞過程。該格式易于操作計算簡單，且能滿足系統(tǒng)的各物理量守恒，但是精度不高，只能達到一階精度，且對運動邊界等復(fù)雜邊界很難處理，為了改進這一缺點，人們提出了修正反彈格式和半步長反彈格式：將物理壁面移至格點中間，在邊界與格點之間應(yīng)用修正反彈格式和半步長反 彈格式。這兩種改善格式能夠達到二階計算精度，可以有效彌補標準反彈格式精度的不足。反彈格式在處理復(fù)雜的不規(guī)則界面具有很大優(yōu)勢。 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 14 tt+tt+ 圖 反彈邊界示意圖 (2) 動力學(xué)格式 動力學(xué)格式主要包含 Nobel 格式、非平衡反彈格式等，其是直接求解邊界格點粒子分布函數(shù)通過宏觀物理量的定義。 Nobel 處理格式：通過構(gòu)造壓力約束來求解邊界上未知粒子的分布函數(shù)，其基本思想是：在邊界節(jié)點速度已知的情況下，根據(jù)邊界上分布函數(shù)與宏觀量之間的關(guān)系，確定邊界節(jié)點的分布函數(shù)， 不管是速度邊界還是壓力邊界，實際上就是對流體施加一個外力作用，引起動量變化， 非平衡反彈格式： 1997 年 Zou 和 He 對二維和三維的 LBGK 模型進行了研究，提出來這種新的邊界處理格式，在實驗研究過程中通過與其他處理格式比較，發(fā)現(xiàn)這種格式具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。 (3) 外推式格式 外推式格式是將邊界擴展，假設(shè)邊界上的點也與流場內(nèi)的所有點一起參與碰撞，然后通過線性外推來獲得邊界上的粒子分布函數(shù)，該方法雖然可以達到二階精度，但是其數(shù)值穩(wěn)定性較差。 (4) Chen 格式 Chen 格式在時間和空間上都具有二階精度，很好 的保持了格子 Boltzmann 方法的整體精度，無需對邊界的流體分布函數(shù)作任何假設(shè)，因此適用非常廣泛，但也有其缺點，就是數(shù)值穩(wěn)定性較差。 (5) 非平衡態(tài)外推格式 非平衡態(tài)外推格式 是 基于外推格式和非平衡反彈格式，郭照立教授等人于 2021 年提出了非平衡態(tài)外推格式，這種格式將邊界節(jié)點上的分布函數(shù)分解為兩部分，平衡態(tài)和非平衡態(tài)，即 )(eqif 和 neqif ，平衡態(tài)分布函數(shù)，可以通過相應(yīng)具體給定的邊界條件定義 格子 Boltzmann 方法及其在非牛頓流體力學(xué)的應(yīng)用 15 近似獲得；而非穩(wěn)態(tài)分布函數(shù)，可以直接通過外推方法來確定。在 D2Q9 模型中詳細介紹該方法，如圖 ，假設(shè) 301 是邊界， 625 位于流場內(nèi)， 748 位于流場外， t 是當前時刻，已知 2 點粒子分布函數(shù)，求 0 點粒子分布函數(shù)，該方法將 0 點粒子分布函數(shù) ),0( tfi分為兩部分： ),0(),0(),0( tftftf n e qieqii ?? () 節(jié)點 2 粒子分布函數(shù) ),2( tfi ，宏觀速度 ),2( tu 及密度 ),2( t? 都已知，因此 2 點非平衡態(tài)粒子分布函數(shù)可以計算為 ),2(),2(),2( tftftf eqiin e qi ?? () 0 點平衡態(tài)部分近似為 )),0(),2((),0( ttftf eqieqi u?? () 通過非平衡外推可得 0 點粒子分布函數(shù) )],2(),2([),0(),0( tftftftf eqiieqii ??? () 非穩(wěn)態(tài)外推格式在時間和空間上都能夠達到二階精度，同時具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性，并且兼顧了其他外推格式的諸多優(yōu)點，且其計算不復(fù)雜，較容易實現(xiàn)，因此適用范圍十分廣泛。 格子 Boltzmann 方法的幾種作用力模型 在格子 Boltzmann 方法中，粒子的速度被離散化 ， 而粒子速度的改變則體現(xiàn)了外力或內(nèi)部力對粒 子運動的影響。因此，如何在離散速度的框架下描述作用力是一個十分重要的問題。 LBGK 的作用力模型一般有三種，即平衡態(tài)分布的壓力校正方法、平衡態(tài)分布的速度校正方法和在演化方程中增加作用力項。 平衡態(tài)分布的壓力校正方法 應(yīng)用平衡態(tài)分布的壓力校正方法必須滿足的條件上，作用力可以表示成勢函數(shù)的形式，同時作用力導(dǎo)致的密度變化可以忽略不計。 LBGK 模型中的平衡態(tài)粒子分布函數(shù)是密度和速度的函數(shù)，可統(tǒng)一表示為 2 2()2 4 2()( , ) ( , ) 1 22eqi i i s s suf t E c c c? ? ?????? ? ? ? ?????iie u e uxu ()