概率及概率密度分布函數(shù)-文庫吧資料
2025-05-18 00:32本頁面
【正文】 內(nèi)的分子比率。 P n Nn N n p qN n N n( ) !!( ) !11 11 1? ? ?lNnlnNnlnnx )2()]([)( 11121 ???????n x l N n N x l1 22 2 2 2? ? ? ?, P x NxlN N xlp qNxlN N xl( ) !( ) !( ) !( ) ( )?? ?? ?2 2 2 22 2 2 2 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量是在實(shí)數(shù)軸的某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值 ? 連續(xù)型隨機(jī)變量取某一確定值的概率必然為零 示例：分子按速率分布情況的描述 ? 自擬一組氣體分子按速率分布的數(shù)據(jù)，見表 122: ? 思路 [A]： ? 先取速率間隔 ?v=100米 既然走了 N步之后距原點(diǎn) x遠(yuǎn)，那么必有： ? 這里， N若為奇數(shù)，則 x必為奇數(shù)倍步長(zhǎng)；而 N若為偶數(shù) x則必為偶數(shù)倍步長(zhǎng)。取 n1為隨機(jī)變量，這正是要求得一維無規(guī)行走問題的概率分布函數(shù) PN(n1)，而它恰應(yīng)是二項(xiàng)式分布： ? (124) ? (Nn1)是他向西走的步數(shù)，我們視之為 n2。 p可以等于、也可以不等于 q，例如這條街路面是傾斜的，那么醉漢朝上坡方向走的概率就小于朝下坡方向走的概率；而若街道水平，則可以認(rèn)為 p=q=1/2。 ? [解 ] ? 基本隨機(jī)事件只有兩個(gè)：或朝東走，或朝西走。物理中有許多問題的數(shù)學(xué)模型就是“無規(guī)行走”。 “無規(guī)行走”是有名的概率問題。假定他每一步的步長(zhǎng)都是 l，但各步朝東還是朝西不受上一步影響，是完全隨機(jī)的。 ? 由互不相容事件的“或”的概率加法定理 : () ? 式中因子 是以各種不同次序在 N次實(shí)驗(yàn)中有 n1次 A出現(xiàn)的組合數(shù)，通常記為 。設(shè)它們各自的概率分別為 p和 q，根據(jù)概率歸一化條件有 p+ q=1 () ? 現(xiàn)在，要對(duì)這樣的一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的 N次獨(dú)立試驗(yàn)結(jié)果來做整體的察看。實(shí)際遇到的非離散型隨機(jī)變量大都有很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，按數(shù)學(xué)家定義，有連續(xù)型隨機(jī)變量之稱 離散型隨機(jī)變量的概率分布 ? 為了完全地描述一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，只知道其隨機(jī)變量 X可取哪些值是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的是要知道 X取各個(gè)值的概率。 ? 隨機(jī)變量分類 : ? 離散型隨機(jī)變量 :隨機(jī)變量 (或隨機(jī)變量組 )所取的值可被一一列舉出來； ? 非離散型隨機(jī)變量 :隨機(jī)變量 (或隨機(jī)變量組 )所取的值不能被一一列舉出來 : ?在例 123中，分子位置坐標(biāo)可以取某一范圍內(nèi)的所有實(shí)數(shù)值，不盡窮舉。 ? [例 123]氣體分子處于不停的、無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，任何單個(gè)分子所在的空間位置及運(yùn)動(dòng)速度都在隨機(jī)地瞬息萬變。我們可以事先約定，令刻著國徽的一面朝上對(duì)應(yīng)著隨機(jī)變量 X=1，而刻有幣值的一面朝上對(duì)應(yīng)著隨機(jī)變量 X=0。 ? [例 122] 硬幣的一面刻著國徽，另一面刻著幣值。 表 隨機(jī)事件 w與隨機(jī)變量 X(w ) w X(w ) (1) (2) (3) 0 (1) (2) (4) 1 (1) (2) (5) 1 (1) (3) (4) 1 (1) (3) (5) 1 (2) (3) (4) 1 (2) (3) (5) 1 (1) (4) (5) 2 (2) (4) (5) 2 (3) (4) (5) 2 這里，我們看到，所選取的隨機(jī)變量可以取 0， 1， 2三個(gè)實(shí)數(shù)值，區(qū)分出了三種不同的復(fù)雜隨機(jī)事件。則“摸取 3個(gè)球”的可能結(jié)果 w有十種，見表 ，給出了十種可能里各自摸到的三球的編號(hào)?？疾?:在摸取的 3個(gè)球中黑球的數(shù)目。 隨機(jī)變量與概率分布 ? 隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量的概率分布 ? 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù) 隨機(jī)變量 ? 為了討論 隨機(jī)事件 與相應(yīng) 概率 之間的關(guān)系，首先要把隨機(jī)事件數(shù)值化，于是，引進(jìn) 隨機(jī)變量 . ? 定義 :把在確定條件下的隨機(jī)現(xiàn)象中的每一個(gè)隨機(jī)事件 w都唯一地與一個(gè)實(shí)數(shù)值 X(w )相對(duì)應(yīng)，則稱實(shí)數(shù)值變量 X(w )為一個(gè)隨機(jī)變量。 ? 設(shè)一古典式隨機(jī)現(xiàn)象的基本隨機(jī)事件組中含有 n個(gè)基本事件，那么依古典式隨機(jī)現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件，易得每一基本事件發(fā)生的概率 : ? () ? 如果該隨機(jī)現(xiàn)象的某個(gè)復(fù)雜隨機(jī)事件 c是由 m個(gè)基本事件復(fù)合而成的，則 c的概率 : ? () ? 在具體計(jì)算中，必須先適當(dāng)?shù)囟x基本事件組，并由 ()和()式可見，關(guān)鍵是計(jì)算 n和 m，這需要用到數(shù)學(xué)中有關(guān)排列、組合的公式。 ? 例二 :容器內(nèi)有 N個(gè)氣體分子，若以一假想截面將容器分為容積相等的 A、 B兩部分，每個(gè)分子都可自由往來于 A、 B之間，倘視 N個(gè)分子是可以彼此區(qū)分的，但又各自獨(dú)立地以同樣方式熱運(yùn)動(dòng)著，那
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