16733解對初值的連續(xù)性和可微性定理-文庫吧資料
2024-09-09 14:17本頁面
【正文】 ,())(,() ) (()((2)(39。 xV則 ))()((2 xx ?? ??))()((2 xx ?? ? ))()(( 39。00)(,)(),(???????yxyyxfdxdy初值問題 引理 如果函數(shù) 于某域 G內(nèi) 連續(xù) ，且 關(guān)于 y 滿足利普希茨條件 （利普希茨常數(shù)為 L），則對方程 的任 意兩個解 及 ,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不 等式 .其中 為所考慮 區(qū)間內(nèi)的某一值。yxyxxy均成立點(diǎn)對該積分曲線上任意因此關(guān)系式),(),( 00 ??按解的存在范圍是否有限 ,又分成下面兩個問題 : Q1: 解在某有限閉區(qū)間 [a,b]上有定義 ,討論初值 的 微小變化對解的影響情況 ,稱為解對初值的連續(xù)性 .內(nèi)容 包括 :當(dāng)初值發(fā)生小的變化時 ,所得到的解是否仍在 [a,b] 上有定義以及解在整個區(qū)間 [a,b]上是否也變化很小 ? 00( , )xyQ2: 解在某個無限閉區(qū)間 上有定義 ,討論初值 的微小變化是否仍有解在 上有定義 ,且解在整個 區(qū)間 上變化也很小 ?這種問題稱為解的穩(wěn)定性 問題 ,將在第六章中討論 . 00( , )xy[ , )a ??[ , )a ??[ , )a ??一 解對初值的連續(xù)性 定義 設(shè)初值問題 )(,)(),(00???????yxyyxfdxdy,],[),( 00 上存在在區(qū)間的解 bayxxy ??使得對于滿足如果對 ,0),(,0 ????? ba????2202000 )()( ????? yyxx),( 00 yx的一切 并且上存在都在區(qū)間的解 ,],[),( 00 bayxxy ??],[,),(),( 0000 baxyxxyxx ??? ???).,(),(),()(00000039。167。 解對初值的連續(xù)性和可微性定理 200( , ), ( , ) ( 1 )()dy f x yx y G Rdxy x y? ?? ???? ??考察 的解 對初值的一些基本性質(zhì) 00( , , )y x x y???解對初值的連續(xù)性 ?解對初值和參數(shù)的連續(xù)性 ?解對初值的可微性 內(nèi)容 : y x G 00( , )xy00( , , )y x x y??00( , )xy00( , , )y x x y?? ?圖例分析 (見右 ) 200( , ), ( , )()dy f x yx y G Rdxy x y? ?? ???? ??解可看成是關(guān)于 00,x x y的三元函數(shù) 00( , , )y x x y??滿足 0 0 0 0( , , )y x x y??11( , )xy 解對初值的對稱性 : 00( , , )?y x x y?00( , , )?y x x y?前提 解存在唯一 例 : 0000()xxdyyy y edxy x y??? ??????? 初值問題的解不單依賴于自變量 , 同時也依賴于初值 . 初值變動 ,相應(yīng)的初值問題的解也將隨之變動 . ………… 00( , )xyxQ:當(dāng)初值發(fā)生變化時 ,對應(yīng)的解是如何變化的 ? 當(dāng)初始值微小變動時 ,方程的解變化是否也是很小呢？ 證明 ,)()(100 xyxy 值的解存在區(qū)間內(nèi)任取一滿足由 ?),( 0011 yxxy ?? 則由解的唯一性知 , ,),(),()( 0011 的解是同一條積分曲線與過點(diǎn)過點(diǎn)
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