16733解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理-全文預(yù)覽
【正文】 bxabxayxyxxyGyxL i p s c h i t zyGGyxf??????其中義上有定在區(qū)間的解通過點(diǎn)方程條件局部滿足內(nèi)一致地關(guān)于且在連續(xù)在區(qū)域設(shè)????????使當(dāng)則對(duì) ,0),(,0 ????? ba????220202000 )()()( ??? ?????? yyxx且上也有定義在區(qū)間的解通過點(diǎn)方程時(shí),),(),()(, 0000bxayxxyyx??? ???bxayxxyxx ???? ,),(),( 00000 ?????2 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理 .,),()(,),(0000內(nèi)是連續(xù)的的函數(shù)在它們存在范圍作為的解則方程條件局部滿足內(nèi)一致地關(guān)于且在連續(xù)在區(qū)域設(shè)???????yxxyxxyL i p s c h i t zyGGyxf?3 解對(duì)初值可微性定理 .,),()(,),(0000在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的的函數(shù)在它們存作為的解則方程內(nèi)連續(xù)都在區(qū)域以及若函數(shù)yxxyxxyGyfyxf????證明 ,內(nèi)連續(xù)在由于 Gyf??,),( 條件滿足局部?jī)?nèi)關(guān)于在故 L i p s c h i t zyGyxf因此 ,解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立 ,即 ),( 00 yxxy ??., 00 是連續(xù)的在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于 yxx.,),(,0000存在且連續(xù)的任一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在它的存在范圍內(nèi)函數(shù)下面證明yxxyxxy???????????.),( 顯然存在且連續(xù)?? xfx ???.0存在且連續(xù)先證y?? ?所確定的解分別為和設(shè)由初值 ),(),( 00000 yyxyx ??,),( 00 ?? ?? yxxy ,),( 000 ?? ???? yyxxy即 ,),(00 ???xxdxxfy ??和 ,),(000 ?????xxdxxfyy ??于是 ? ????? xx dxxfxfy 0 )),(),((0 ????0y?? ? ?????? xxdxyxf0)())(,( ??????有的連續(xù)性及注意到其中 ,.10 ??? yf?????????yxf ))(,( ????1),( ryxf ??? ?.00,00 1010 ?????? ryry 時(shí)且時(shí)這里當(dāng)有因此對(duì) 00 ?? y???0y?? ??????? xxdxyryxf0 01)(]),([1 ???0yz??? ??設(shè) ? ????? xx z dxryxfz0]),([1 1?即 0yz??? ??是初值問題 zryxfdxdz ]),([1???? ?1)( 0 ?xz??? )(的解 , .,00 上述初值問題仍然有解時(shí)顯然當(dāng) ?? y根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理 則 從而存在的連續(xù)函數(shù)是知 , 0000yzxxyz ???? ??0000l imyyy ??????????是初值問題而0y?? ?zyxfdxdz??? ),( ?1)( 0 ?xz???的解 , 不難求得 )),(ex p (00? ?????xxdxyxfy??., 00 的連續(xù)函數(shù)顯然它是 yxx所確定的解分別為和設(shè)由初值 ),(),( 00000 yxxyx ??,),( 00 ?? ?? yxxy ,),( 000 ?? ???? yxxxy即 ,),(00 ???xxdxxfy ??和 ,),(000 ? ????
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