數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項式的比較分析-文庫吧資料
2025-03-07 01:50本頁面
【正文】 ],[3210 xxxxg? ))()()(( 3210 xxxx xxxx ???? 把 ?x 代入 )(3xN中得： 5 0 9 9 7 5 2 )(3 ??N ??? )()()(33 xxgx NR ],[ 3210 xxxxg )(4 x? ?? ))()()(( ???? 0 0 0 6 7 3 7 0 0 8 4 3 7 ??? （ 3） 利用 Hermite 插值公式 ?? )(12 xH n ))()((0 xx iiini i by ?? ???得： ?)(7 xH ? ?? ?? ?? ?????3 0 22 )()()()()()()(21i iiiiiiii xlxxlxlx fxxfxx ? ?? ? )()()()()(2)( 230 xxfff lxxxxlx ii iiiiii? ?? ?????? 其中 ?)(0l 1 6 6 6 6 6 )(3 ??l ?)(1l 6 6 6 6 6 )(2 ?l )(0 ???l )(1 ??l 6 6 6 6 6 )(2 ???l 8 3 3 3 3 )(3 ??l 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 10 把 ?x 代入 )(7xH中得： )(7 ??H 則 ?)(7 xR ?)(xf ?)(7H? ? )(4!8 )( 27 xf ?? 由于 )(7)7( ax ???? Mfx ? )(24 ?? 所以 )(7 ?xR 注 本題的真解 ??In ，由于相同次數(shù)的 Lagrange 插值多項式和 Newton 插值多項式是恒等關(guān)系，只是它們的表達(dá)形式不同，所以用它們算出來 的結(jié)果也應(yīng)該相同?，F(xiàn)在假如存在一個分段函數(shù) )(xS ，且 ???xS???????)()()(21xxxSSSn? ],[],[],[12110xxxxxxnnxxx????? 使得 ??xS 在以下條件：（ 1） yxkkS ?)(； （ 2） )(xS 的二階導(dǎo)數(shù)在 ],[ ba 上連續(xù)； （ 3） )(xS 在每個小區(qū)間 ],[1xx kk ?為三次多項式 . 恒成立，其中（ nk ,2,1,0 ?? ），則稱 )(xS 為三次樣條插值函數(shù) . 誤差估計由定理給出： 定理 ]6,1[ 設(shè) ],[)( 4 baxf C? ，且記 ,)()4(4 m ax xfM bxa ??? xx kknkh ?? ???? 110m ax ,則對 ].[ bax?? ，都有 )(xS 的誤差估計式 : 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 8 .2,1,0,)()( 44)()( ??? ? ixx MhCSf iiki 三次樣條插值函數(shù)它同樣具有良好的收斂性和逼近性，它在內(nèi)節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，即曲線光滑。所以引人三次樣條插值法就是為了克服這個缺點。以下介紹常用的分段線性插值 ]81[， . 設(shè)有 n+1個節(jié)點 ba xxxn ????? ?10，對應(yīng)的函數(shù)值為 yyyn, 10 ?.若記 xxiinih ?? ???? 110m ax，有 )(xIn 滿足： （ 1） )(xIn 屬于 ],[ baC ； （ 2） yxIiin ?)(； （ 3）在任一個小區(qū)間 ],[1xx ii ?上， )(xIn 是線性多項式 . 則稱 )(xIn 為分段線性插值函數(shù)（其中 ni ,2,1,0 ?? ） .所以在每個小區(qū)間],[ 1xx ii ? 上，可表示為： ?)(xIn xx xyxx xyiiiiiiii xx ?????????1111 誤差估計由定理給出： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 7 定理 ]6,1[ 若 ?)(xf ],[2 baC ，記 )(m ax2 xfbxaM ?? ??， 則 對],[ bax?? . ??xIn 有誤差函數(shù)或余項估計： MhIR xxfx nn 228)()()( ??? . 分段 低次插值函數(shù)有很好的一致收斂性和穩(wěn)定性，它計算量小，在實際生活中用到是最廣的 .但它的光滑性太差 . 三次樣條插值法 三次樣條插值法也是一種分段插值法。其中 )(xi?， )(xi?為插值基函數(shù)，則對 ),(],[ babax ???? ? ，使得誤差函數(shù)或余項 ?? )(1 xRzn ?)(xy ?? )(12 xHn )(1)!22()( 2)12( xnnfn ????? . Hermite 插值多項式能夠克服插值函數(shù)在節(jié)點處不光滑、不可導(dǎo)的缺點 .但是在運用 Hermite 插值公式計算不但要求在節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)也要求相等，條件太高 . 分段低次插值法 在實際運用函數(shù)作插值多項式時，并不是插值多項式的次數(shù)越高，插值余項就越小，值就越精確。要求一個次數(shù) 不超過 12?n 的多項式)(12 xHn? ，使得滿足條件： yxH iin ?? )(12 ， nimxH iin , .. .. .. ,2,1,0,)(12 ??? ? . 則稱滿足這種條件的多項式為 Hermite 插值多項式。但隨著次數(shù) n的增大，其誤差不是很穩(wěn)定，所以 Newton 插值對高次插值是不可取的。但是用 Lagrange 插值多項式計算較高次的插值時，在添加一項對應(yīng)的節(jié)點和其計算時，表達(dá)式也要經(jīng)過重新計算，計算量明顯的增大。即 )(xNn 是過 n+1 個插值點的 n 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文
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