20xx年全國高考天津卷理科數(shù)學(xué)試題及答案-文庫吧資料
2024-08-30 10:30本頁面
【正文】 不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分 14 分 （ Ⅰ）解 ：由題設(shè)有 1 2 140a a a? ? ? ， 1 1a? ，解得 2 3a? ．由題設(shè)又有 22 2 14a bb? ， 1 4b? ，解得 2 9b? ． （ Ⅱ）解法一：由題設(shè) 1 ( 3) 0nnnS n S? ? ? ?， 1 1a? ， 1 4b? ，及 2 3a? ， 2 9b? ，進一步可得 3 6a? ， 3 16b? ， 4 10a? ， 4 25b? ，猜想 ( 1)2n nna ??， 2( 1)nbn??， *n N? ． 先證 ( 1)2n nna ??， *n N? ． 當(dāng) 1n? 時，1 (11 12 )a ?? ?，等式成立．當(dāng) 2n? 時用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （ 1 當(dāng) 2n? 時，2 (22 12 )a ?? ?，等式成立． （ 2）假設(shè) nk? 時等式成立，即 ( 1)2k kka ??， 2k? ． 由題設(shè)， 1 ( 3)kkkS k S? ?? 1( 1) ( 2)kkk S k S ?? ? ? ① 的兩邊分別減去 ② 的兩邊，整理得 1 ( 2)kkka k a? ?? ，從而 1 2 2 ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) 1 ]22kkk k k k k kaa kk? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 這就是說，當(dāng) 1nk??時等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1)2n nna ??對任何的 2n? 成立． 綜上所述，等式 ( 1)2n nna ??對任何的 *n N? 都成立 ( 1)2n nna ?? 再用數(shù)學(xué)歸納法證明 2( 1)nbn??， *n N? ． 中國高考網(wǎng) 中國高考網(wǎng) 第 11 頁 共 13 頁 （ 1）當(dāng) 1n? 時， 21 (1 1)b?? ，等式成立． （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時等式成立，即 2( 1)kbk??，那么 2 22 211 24 ( 1 ) ( 2 ) [ ( 1 ) 1 ]( 1 )kk ka kkbkbk?? ??? ? ? ? ??． 這就是說，當(dāng) 1nk??時等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 2( 1)nbn??對任何的*n N? 都成立． 解法二：由題設(shè) 1 ( 3)nnnS n S? ?? 1( 1) ( 2)nnn S n S ?? ? ? ① 的兩邊分別減去 ② 的兩邊，整理得 1 ( 2)nnna n a? ?? ， 2n? ．所以 3224aa? ， 4335aa? ， ?? 1( 1) ( 1)nnn a n a ?? ? ?， 3n? ． 將以上各式左右兩端分別相乘，得2( 1) !( 1) ! 6n nn a a???， 由（ Ⅰ ）并化簡得2( 1) ( 1)62n n n n naa????， 3n? ． 止式對 1,2n? 也成立． 由題設(shè)有 2114n n nb b a??? ，所以 221 ( 2 ) ( 1)nnb b n n? ? ? ?，即 1221( 1) ( 2)nnbbnn?????， *n N? ． 令2( 1)nn bx n? ?，則 1 1nnxx? ? ，即1 1n nx x? ?．由 1 1x? 得 1nx? ， 1n? ．所以2 1( 1)nbn ??，即 2( 1)nbn??， 1n? ． 解法：由題設(shè)有 1 ( 3)nnnS n S? ?? ， *n N? ，所以 214SS? ， 中國高考網(wǎng) 中國高考網(wǎng) 第 12 頁 共 13 頁 3225SS? ， ?? 1( 1) ( 2)nnn S n S ?? ? ?， 2n? ． 將以上各式左右兩端分別相乘，得 12 ( 1 )1 4 5 ( 2)nn S n S? ? ? ? ? ? ? ? ?，化簡得 13( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )26n n n n n n nSa ???????， 3n? ． 由（ Ⅰ ），上式對 1,2n? 也成立．所以1 ( 1)2n n n nna S S ? ?? ? ?， 2n? ． 上式對 1n? 時也成立． 以下同解法二，可得 2( 1)nbn??， 1n? ． （ Ⅲ）證明： 12 ( 1 )2 2 212 2(1 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) ( 1 )) ( 1 ) naan nna nbTb nb ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 當(dāng) 4nk? ， *k N? 時， 2 2 2 222 22( 4 2 )2 ( 4 1 ) (345 4 ) ( 4 1 )n k k k kT ? ? ? ?? ? ? ??
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