20xx年全國高考天津卷理科數(shù)學(xué)試題及答案(完整版)
【正文】 第 9 頁 共 13 頁 （ 21）本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運(yùn)算能力．滿分 14 分． （ Ⅰ）解：設(shè)雙曲線 C 的方程為 221xyab??（ 0, 0ab??） ．由題設(shè)得 22952abba? ???? ???，解得 2245ab? ??????，所以雙曲線方程為 22145xy??． （Ⅱ） 解：設(shè)直線 l 的方程為 y kx m??（ 0k? ）．點(diǎn) 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y 的坐標(biāo)滿足方程組 22145y kx mxy????? ???? 將 ①式代入②式，得 22()145x kx m???，整理得 2 2 2( 5 4 ) 8 4 20 0k x k m x m? ? ? ? ?． 此方程有兩個(gè)一等實(shí)根，于是 25 04k? ? ，且 2 2 2( 8 ) 4 (5 4 )(4 2 0 ) 0km k m? ? ? ? ? ? ?．整理得 225 4 0mk? ? ?． ③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段 MN 的中點(diǎn)坐標(biāo) 00( , )xy 滿足 120 242 5 4xx kmx k????， 00 2554my kx m k? ? ? ?． 從而線段 MN 的垂直平分線方程為225 1 4()5 4 5 4m kmyxk k k? ? ? ???． 此直線與 x 軸， y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為29( ,0)54kmk?，29(0, )54mk?．由題設(shè)可得221 9 9 8 1| | | |2 5 4 5 4 2km mkk????．整理得 222 (5 4 )||km k??， 0k? ． 中國高考網(wǎng) 中國高考網(wǎng) 第 10 頁 共 13 頁 將上式代入 ③ 式得 22 2(5 4 ) 5 4 0||k kk? ? ? ?，整理得 22( 4 5 ) ( 4 | | 5 ) 0k k k? ? ? ?， 0k? ． 解得 50 | | 2k?? 或 5||4k? ． 所以 k 的取值范圍是 5 5 5 5, ) ( , 0 ) ( 0 , ) ( , )4 2 2 4( ? ? ?? ??． （ 22）本小題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的概念、等比中項(xiàng)、不等式證明、數(shù)學(xué)歸納等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分 14 分 （ Ⅰ）解 ：由題設(shè)有 1 2 140a a a? ? ? ， 1 1a? ，解得 2 3a? ．由題設(shè)又有 22 2 14a bb? ， 1 4b? ，解得 2 9b? ． （ Ⅱ）解法一：由題設(shè) 1 ( 3) 0nnnS n S? ? ? ?， 1 1a? ， 1 4b? ，及 2 3a? ， 2 9b? ，進(jìn)一步可得 3 6a? ， 3 16b? ， 4 10a? ， 4 25b? ，猜想 ( 1)2n nna ??， 2( 1)nbn??， *n N? ． 先證 ( 1)2n nna ??， *n N? ． 當(dāng) 1n? 時(shí)，1 (11 12 )a ?? ?，等式成立．當(dāng) 2n? 時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （ 1 當(dāng) 2n? 時(shí)，2 (22 12 )a ?? ?，等式成立． （ 2）假設(shè) nk? 時(shí)等式成立，即 ( 1)2k kka ??， 2k? ． 由題設(shè)， 1 ( 3)kkkS k S? ?? 1( 1) ( 2)kkk S k S ?? ? ? ① 的兩邊分別減去 ② 的兩邊，整理得 1 ( 2)kkka k a? ?? ，從而 1 2 2 ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) 1 ]22kkk k k k k kaa kk? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． 這就是說，當(dāng) 1nk??時(shí)等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 ( 1)2n nna ??對任何的 2n? 成立． 綜上所述，等式 ( 1)2n nna ??對任何的 *n N? 都成立 ( 1)2n nna ?? 再用數(shù)學(xué)歸納法證明 2( 1)nbn??， *n N? ． 中國高考網(wǎng) 中國高考網(wǎng) 第 11 頁 共 13 頁 （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)， 21 (1 1)b?? ，等式成立． （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)等式成立，即 2( 1)kbk??，那么 2 22 211 24 ( 1 ) ( 2 ) [ ( 1 ) 1 ]( 1 )kk ka kkbkbk?? ??? ? ? ? ??． 這就是說，當(dāng) 1nk??時(shí)等式也成立．根據(jù)（ 1）和（ 2）可知，等式 2( 1)nbn??對任何的*n N? 都成立． 解法二：由題設(shè) 1 ( 3)nnnS n S?
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