【正文】 nd M is a weak repeller for X 1 . T hen M is an acyclic isolated covering of 2? . Thus， all the conditions of Theorem in reference [4] hold for ( 3) . The Lemma is proved. In order to prove that the endemic equilibrium E is globally asymptotically stable， we need another technical lemma. Lemma 2 Suppose ? ? ? ? ? ?? ?,x t y t z t is a solution to ( 3) with ? ? ? ? ? ?? ?0 , 0 , 0x y z V?. If 0 1R? ， then there exists T0 0， such that the solution satisfies x bq r? ??for 0tT? . 17 Proof From the first equation of ( 3) ， we have 39。bx b ?? ? ； whereas， if 16 bx b ?? ? ， then y=z=0 in V. Therefore， the largest pact invariant set in is the singleton? ?0E .The global stability o f 0E w hen 0 1R? 時(shí)， follow s from the LaSalles invariance principle[ 10] . If 0 1R? ， then 39。0x b qbL b q zb b b r??? ? ? ??????? ? ?????? ? ? ??? ?? Furthermore ， if 039。if R0 1， a unique endemic equilibrium ? ?* * * *,E x y z? ?V( the interior of V ) exists. Theorem 2 The diseasefree equilibrium 0 , 0, 0bE b ???? ?????of ( 3) is globally asymptotically stable in V if 0 1R? 。x b bx x z bq z x rzy x z bq z by yz y bz z rz??????? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? (3) From biological considerations， we study ( 3) in the feasible closed region ? ?? ?, , : 0 , 0 , 0 , 1V x y z x y z x y z? ? ? ? ? ? ? (4) The dynamical behavior of ( 3) in V and the fate of the disease is determined by the basic reproduction number ? ?? ?? ?? ?? ?0B q bR b b b r? ? ?? ? ???? ? ? ? ? (5) The objective of this paper is to show that the dynamical behavior of ( 3) is characterized by 0R . 14 1 Mathematical Framework We briefly outline a general mathematical framework to prove the global stability o f a system of ordinary differential equations， which is proposed in reference [ 3] . Let ? ? nx f x R?? be a 1C function for x in an open set nDR? . Let us consider the system of differential equations ??39。39。39。39。,39。,39。 vaccination。 whereas if 0 1R? ， the unique endemic equilibrium is globally asymptotically stable. Key words： epidemic model。lim 1t E dRE ??? ? ? ? (17) （ b） 如果 ? ? ? ?221 1 ,R R I t?? 數(shù)量下降 (增加 ).而且指數(shù)漸近增長(zhǎng) (下降率 )為 ? ?? ?239。39。l imt S b zz d b q rS x x???? ? ? ? ? ? ? 由 (3)的第一個(gè)方程可知，平衡點(diǎn) *E 滿足方程 ? ?* * * * *b x z bq z rz b x??? ? ? ? ? 因此 39。 .SS bN I bqI dS s rINsE I bqI dE ENI E dI I rIN bN dN??????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??? ??? (15) 顯然 ， 人口總 量 N(t)可能增加、減少或?yàn)槌?shù)，其完全依賴于增長(zhǎng)率 r=b?d. 比例 (x ， y ， z)可能趨向于 ,0,0bb ????????或地方病平衡點(diǎn) ? ?*, *, *x y z ，但是感染者比例的變化并不能給提供我們關(guān)于染病者 (包括 E類(lèi)和 I類(lèi) )行為變化的信息 .特別地，即使被感染的個(gè)體的總數(shù)呈指數(shù)增加 ， 但以比人口總量 ??Nt增長(zhǎng)率低，那么這兩者所占的比重將趨向于零，然而，被感染個(gè)體的總數(shù)趨于無(wú)窮 .我們也能夠想象出相反的情況 —— 感染者的數(shù)量和人口總量的下降到零 ， 但是二者比例一直保持 (非零 )常量不變 .在這種情況下 ， 只要人口總量非零，就一定存在感染者 .為了描述 ? ? ? ? ? ?,S t I t E t 9 的變動(dòng)情況，我們需要另外兩個(gè)閾值參數(shù) (文獻(xiàn) [12]中有介紹 ).以下是相關(guān)的閾值參數(shù)： ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?02 *0, 1 , 1.b bq bRb d d rRx bqRd b r? ? ?? ? ?????? ???? ? ? ? ???? ?? ?? ? ? ?? 我們得到以下兩個(gè)定理 . 定理 4 (a) 易感者的數(shù)量 ??St以指數(shù)漸近率 b?d增加 (減小 ). (b) 假設(shè) 0 1R? ，如果 2 1R? 或 2 1R? ，則 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?, 0 , 0 ,E t I t o r? ? ?. 證明 (a)由定理 2知 ， 0 1R? 意味著 ? ? ? ? ? ?? ?l im , , , 0 , 0tbx t y t z t b ?????? ?????由 (1)的第一個(gè)方程 ， 我們有 ? ?39。,39。,39。,yyg b g b? ? ? ? ? ? 由此得 ? ? 39。yz brzz? ?? ? ? ? (14) 8 將 (13)代入到 (11)， (14)代入 (12)，我們可得 ， 當(dāng) 0tT? 時(shí)， 1239。 2y z yg B B r b ky z z???? ? ? ? ? ? ? ? ? (12) 重寫(xiě) (3)， 我們有 ? ? 39。2 , 2 ,z yzB b B r b kyz? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這里 min( , )k ??? 由引理 2知，當(dāng) 0tT? 時(shí)，有 ? ?12 zB x bq y???，21 yB z??. 因此，當(dāng) 0tT? 時(shí)， ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 2 zg B B z b x b q y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? (11) ? ?2 2 1 1 2 2 39。 2yz z r byzByzz r byz? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??? 在 3 32RR??? ????中，向量范數(shù) ? 選作 ? ? ? ?, , m a x ,u v w u v w??. 讓?duì)?(.)表示該對(duì)應(yīng)范數(shù)的 Lozinskii度量 .利用文獻(xiàn) [11]中估計(jì) μ(.)的方法，得 ? ? ? ?12sup ,B g g? ? (10) 其中 ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2,g B B g B B??? ? ? ? ? ?1 22B? 表示在 2R 中的 1l 范數(shù)對(duì)應(yīng)的的 Lozinskii度量 .由于 11B 為標(biāo)量 ， 對(duì)于 1R 中的任意范數(shù) 11B 的 Lozinskii度量都是等于 11B . 12B ， 21B 是對(duì)應(yīng)于 1l 范數(shù)的矩陣范數(shù) .因此，? ? ? ?1 1 2 2 39。 2039。/fP P dia g y y z z y y z z? ? ? ?， (8)中的矩陣 ? ?211fB P P P J P???? ， 可以被寫(xiě)成矩陣塊的形式 11 1221 22BBB BB??????? 當(dāng) 11 2B z b? ? ?? ? ? ? ?， ? ? ? ?12 ,zzB x b q x b q ryy????? ? ? ?????， 21 0 yB z??????????， 7 2239。/ , 39。0bbx b q rb????? ??? ? ? ??????.因此，當(dāng) t從分大時(shí)，有 ??x t x? .從而引理結(jié)論得以證明 . 定理 3 假定 0 1R? ，那么在 V中，唯一的地方病平衡點(diǎn) *E 是全局漸近穩(wěn)定的 . 證明 通過(guò)第一 節(jié)的討論以及引理 1， 我們看到系統(tǒng) (3)滿足假設(shè) ? ?1H 和 ? ?2H . 系統(tǒng) (3)的通解 ? ? ? ? ? ?,x t y t z t????的雅可比矩陣 J為： 00b z b q rz b x b qbr? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ??? 其第二復(fù)合加法矩陣為： ? ?2 2 2002z b x b q x b q rJ z r bz r b? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ??? (9) 關(guān)于復(fù)合矩陣及其性質(zhì)的詳細(xì)討論，請(qǐng)讀者參考文獻(xiàn) [9]. 設(shè) (8)中 的函數(shù) P(x)為 ? ?( , , ) 1 , / , /P x y z d ia g y z y z? ， 則 ? ?1 0 , 39。x b b b x?? ? ? ，從而當(dāng) t→∞， ? ? bxtb ?? ?. 當(dāng) 0 1R? 時(shí)， V中系統(tǒng) (3)的全局動(dòng)力學(xué)完全由定理 2決定 .其流行病學(xué)含義是，受感染人口在總?cè)丝谥械谋壤?(即潛伏者和染病者比例之和 )隨著時(shí)間而趨于零 . 引理 1 如果 0 1R? ，此時(shí)系統(tǒng) (3)在 v中是一致持久的，也即存在一個(gè)常數(shù) 0ε 1使得從 ? ? ? ? ? ?? ?0 , 0 , 0x y z V?出發(fā)的任意解 ? ? ? ? ? ?? ?,x t y t z t都滿足 ? ? ? ? ? ?m in in f , in f , in ft t tlin x t lin y t lin z t ?? ? ? ? ? ??? ????? 證明 我們運(yùn)用參考文獻(xiàn) [4]中的定理 .為了證明當(dāng) 0 1R? ，系統(tǒng)(3)滿足定理 ，我們選擇 V=X， 2XV?? ， 1X? ? ?? ? ? ? ? ?22 2 0 0, 0 , 0 : 0 1 , ,sYY x x s E E?