【正文】 ?? ? ? ? ? ?是 X中的一個不變集，令 ? ?0ME? ，由定理 2知，包含 0E 的同宿軌道不存在，而且 M是 1X 一個弱排斥子 .因此 M是 2? 的非循環(huán)的，孤立的，覆蓋 .因此，文獻 [4] 中定理 的所有條件系統(tǒng) (3)都滿足 ， 因此引理得證 . 為了證明地方病平衡點 *E的全局漸近穩(wěn)定性，我們需要另一個引理 . 引理 2 假設(shè) ? ? ? ? ? ?? ?,x t y t z t是 (3)的解且 ? ? ? ? ? ?? ?0 , 0 , 0x y z V?.如果 0 1R? ， 則存在 0 0T? ，當(dāng) 0tT? 時，解滿足 x bq r? ??. 證明 由 (3)的第一個方程知 39。 0x y z V L??中的最大緊不變集是單點集? ?0E .當(dāng) 0 1R? 時， 0E 的全局穩(wěn)定性由 Lasalles不變集原理得到 . 5 如果 0 1R? ，則除了 y=z=0的情形，當(dāng) x足夠接近 bb??時候， 39。 0 , 0 , 1 0 , 0 ,bl z x R z yb ?? ? ? ? ? ??則 或 及 。x f x? (6) 我們記 ? ?00,xx是式 (6)中使得 ? ?000,x x x? 的一個解 .如果每個對于 KD? 和充分大的 t， ? ?10,x K K? 則 (6)式中集合 K收斂于 D. 我們提出兩個基本假設(shè)： ? ?1H 存在一個緊的吸引集合 K?D. ? ?2H 在 D中 (6)具有唯一的平衡點 x . 若 x 是局部穩(wěn)定且在 D中所有的軌跡收斂到 x ，則唯一的平衡點 x 是全局穩(wěn)定的 . 對于可行區(qū)域是有界圓錐體的傳染病模型， ? ?1H 是等價于 (6)的一致持久性 . 對于 x∈ D，設(shè) ? ?x P x? 是一個22nn? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?矩陣值函數(shù)為 1C 的 .假設(shè)當(dāng) x∈ K， K為緊集時，? ?1Px? 存在，且為連續(xù)的 .一個數(shù)量 2q 定義為 ? ?? ?? ?02 001l im s u p s u p ,t x Rq B x s x d st ?? ? ?? ? (7) ? ?211f fB P P P Px????? ? (8) 矩陣 fP 是通過 P沿 f方向的導(dǎo)數(shù)來代替 P的每個元素 ijP 得到的， ijP 、 f 和 ??2fx?? 是第二加性復(fù)合矩陣 f的雅可比矩陣 fx?? 和及 μ(B)是 B的 Lozinskii測度，其向量范數(shù)為 ? ?89NR ?中的范數(shù) ? . 文獻 [3]中定理 . 定理 1 設(shè) D是單連通的，而且假設(shè) ? ?1H ， ? ?2H 成立 .如果 2q 0的，則 (6)的唯一的平衡點 x 在 D是全局穩(wěn)定的 . 4 文獻 [3]證明了在定理 1的條件下，條件 2q 0排除了 (6)中有不變閉曲線的可能性 ，如周期解，同宿軌和異宿軌，因而它蘊含了 x的局部穩(wěn)定性 . 使用定理 1來分析 (3)的全局穩(wěn)定性，設(shè) V， 0R 定義分別為 (4)， (5). 易證 V是系統(tǒng) (3)的正不變集 . 2 模型 (3)的定性分析 易證，如果001, , 0 , 0bRE b ??????????是模型 (3)在 V中的唯一平衡點；如果 1,R? V的內(nèi)部存在唯一的地方病平衡點 ? ?* * * *,E x y z? . 定理 2 如果 0 1R? ，系統(tǒng) (3)的無病平衡點0 , 0, 0bE b ???? ?????在 V中是全局漸近穩(wěn)定；如果 0 1R? 則它是不穩(wěn)定的，從足夠靠近 0E出發(fā)的軌線遠離 0E ，從 x?軸出發(fā)的軌線沿 x?軸趨向于 0E . 證明 令 ? ?? ?? ?0 b b q bL R y zb b r???????? ? ? ? 則如果， 0 1R? ， ? ?? ? ? ?39。39。x b bx x z bq z x rzy x z bq z by yz y bz z rzw z x bw????????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? (2) 受 1x y z w? ? ? ?的限制，由于變量 ? 不出現(xiàn)在方程組（ 2）的前三式中，這使我們減少方程（ 2）得到一個子式 . 39。39。 z=I/N和 ω=R/N分別表示 S， E， I， R在總?cè)丝谥械谋壤?.易證 x， y， z，ω滿足下列微分方程 ： 39。.sS bN I bqI dS S rINSE I bqI dE ENI E dI I rIR I I dR????????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? (1) 這里 β 是常規(guī)接觸率，參數(shù)μ是從 E 類到 I 類的轉(zhuǎn)換率 .參數(shù) b， d， β， μ 為是正數(shù)，θ， σ， r 為非負數(shù) . 設(shè) x=S/N。,39。 1 帶有垂直傳染和接種疫苗 SEIRS流行病模型的全局穩(wěn)定性 Global Stability of an SEIRS Epidemic Model with Vertical Transmission and Vaccination 作者： 茍清明 劉春花 起止頁碼： 5661 出版日期 (期刊號 )： 2020年 11 月 (16739868) 出版單位： 西南大學(xué)學(xué)報 ( 自然科學(xué)版 ) 外文翻譯譯文： 摘要 ： 本文建立一個考慮了疾病的水平傳播和垂直傳播以及接種疫苗等因素的傳染病模型，通過排除周期解、同宿軌和 異宿環(huán)的存在來研究模型的全局穩(wěn)定性， 最后證明系統(tǒng)的全局動力學(xué)特性完全由基本再生數(shù) 0R 所確定：當(dāng) 0 1R? 時，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng) 0 1R? 時，地方病平衡點是全局漸進穩(wěn)定的 . 關(guān)鍵詞：傳染病模型；垂直傳播；疫苗；全局穩(wěn)定性 中圖分類號： O17513 文獻標(biāo)識碼： A 在許多傳染病模型中，總是假設(shè)人口傳染病是通過直接接觸感染源或通過諸如蚊子等媒介叮咬，或 通過水平傳播 .但是許多傳染病不僅有水平傳播還有垂直傳 .垂直傳播也可通過媒介的胎盤轉(zhuǎn)移完成，如乙肝，風(fēng)疹，皰疹的病原體 .對昆蟲或植物而言，往往是通過垂直傳播如卵或種子 .Busenberg等人討論了疾病的水平傳播和垂直傳播問題 .在本文中，我們假設(shè)疾病既有水平傳播又有垂直傳播 .我們假定人口具有指數(shù)出生，人口被均勻分為四個倉室： 易感染者 (S)，潛伏者 (E)，染病者 (I)和恢復(fù)者 (R). 因此總?cè)丝跒?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?N t S t E t I t R t? ? ? ?. 我們認為這種疾病不是致命的，人均自然出生率和死亡率分別記為參數(shù) b和 們假設(shè)，潛伏者的新生兒進入易感者類，而染病者的新生兒有 q比例是感染者 .因此進入潛伏者類的新生兒為 bqI， 01q??.對于染病者類，我們假設(shè)δ比例的染病者具有永久免疫力，進入 R類， r比例的染病者沒有免疫力，進入 S類 ， 模型假設(shè)易感者類的接種比例為 θ. 根據(jù)上述假設(shè)，得到如下微分方程 2 39。,39。,39。 y=E/N。39。39。39。x b bx x z bq z x rzy x z bq z by yz y bz z rz??????? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? (3) 在可行的區(qū)域內(nèi)，我們從生物角度研究 (3)式 ? ?? ?, , : 0 , 0 , 0 , 1V x y z x y z x y z? ? ? ? ? ? ? (4) 在 V中 (3)式的動態(tài)學(xué)行為和疾病傳播是由如下基本再生數(shù)決定的 ? ?? ?? ?? ?? ?0B q bR b b b r? ? ?? ? ???? ? ? ? ? (5) 本文的目的是要證明 (3)的動力學(xué)行為由 0R 決定 . 1 數(shù)學(xué)框架 我們簡要概述一個一般的數(shù)學(xué)框架，證明了一個常微分方程系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，這是在文獻 [3]中提到的 . 3 令 ? ? nx f x R??是一個 1C 函數(shù)， x屬于開集 . nDR? 讓我們考慮如下微分 ? ?39。0x b qbL b q zb b b r??? ? ? ??????? ? ?????? ? ? ??? ?? 而且，如果 039。 當(dāng) 則bx b ?? ? ；否則，如果bx b ?? ? ，則在 V中 y=z= ? ?? ?, , : 39。0L? .因此，從足夠接近 0E 出發(fā)的軌線遠離 0E ，從 X軸出發(fā)的軌線滿足系統(tǒng) (3)的方程 ? ?39。 ( ) ( )x b b x x bq r z??? ? ? ? ? ? 6 如果 bq≥r， 顯然成立 .如果 bqr， 令 ( ) /x r bq ??? . 當(dāng) 0 1R? 時，易得 b rb? ?? ???，因此 ， 0 bxb ???? ， 從而當(dāng) 0 xx?? 時， 39。/ 39。/ 39。39。39。39。39。zyx b q byy??? ? ? ? (13) 39。39。/ ,B y y b? ??根據(jù) (3)式的 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?, , 0 , 0 , 0 ,x t y t z t x y z K K?是緊促吸收集 .對于 0tT? ，有 ? ? ? ? ? ?? ?0 000 01 1 1 l n ,T yt tTB d s B d s bt t t t T t?? ?? ? ??? 從 (7)可知 2 / 2 0,qb?? ? ， 這就完成了證明定理 3. 3 人口數(shù)量的動態(tài)學(xué)行為 現(xiàn)在考慮 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, , ,S t E t I t R t和 ? ? ? ? ? ? ? ? ?N t S t E t I t R t? ? ? ?構(gòu)成的動力學(xué)行為，它們有系統(tǒng) (1)來控制 .由于 (1)的前三個方程中沒有出現(xiàn) R (t)，因此我們研究其等價系統(tǒng) ： 39。,39。 39。/S S b d?? . 由定理 3 知，當(dāng) 01R? 時，? ? ? ? ? ?? ? ? ?* * *l im , , , ,t x t y t z t x y z?? ?. 方程 (1)的第一個方程除以 S并取極限得： ? ? ****39。limtS bdS?? ?? (b)通過 E(t)， I(t)的方程來研究其行為： ? ? ? ?? ? ? ?? ?/ 0 /39。00d b b bq x b bEEdrII? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ?? (16) 這是線性系統(tǒng)的一個擾動 .(16)的線性主部的解正如定理中所描述的那樣，因為當(dāng) t→∞時，擾動部分以指數(shù)衰減 (見參考文獻 [10]， 第 3章定理 2 3)，則 (16)的解與其線性系統(tǒng)的解行為相同 . 定理 5 假定 0 1R? . （ a） 如果 ? ? ? ?221 1 ,R R E t?? 數(shù)量下降 (增加 ).而且指數(shù)漸進增長 (下降率 )為 10 ? ?? ?239。lim 1t I dRI ??? ? ? ? (18) 證明 由定理 3知：如果 0 1R? ，則 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?* * *l im , , , ,t x t y t z t x y z?? ?且 ? ? ? ?? ?* * ***x bq z b yy b r z????? ? ? ???? ? ??? (19) 因此 **l im l imttI z zE y y b r? ?? ? ? ?? ? ? ?? (20) 由 (1)的第二個方程，方程 (19)及方程 (20)，可得 (17).由 (1)的第三個方程及方程(20)，也可得到 (18). 致謝：審稿人提出了非常有價值的意見和建議， 對此我們表示感謝 . 參考文