【正文】 如果 ? ?AI? 是非奇異的。 x? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的一個平衡點。我們 講研究二階線性自治系統(tǒng) （時間不變）的穩(wěn)定性。此外 ? ?lim 0n xn?? ? （二） 如果 ??xn是 ? ?2 3 6?? 的解 在 ? ?0 uxW? 中，然后 對于 每個 n 中， ? ? ux n W? 。 定理 （穩(wěn)定的子空間（集成塊）定理）。 得出結(jié)論單位圓內(nèi)的特征值當且僅當 1 det 0trA A? ? ?， 1 det 0trA A? ? ?， 1 det 0A?? ? ?2 3 8?? 或者，等價 1 det 2trA A? ? ? ? ?2 3 9?? 它如下所示的條件下 ? ?2 3 9?? 中，零解的方程 。 在許多應用中需要明確的標準矩陣的條目特征值在單位圓內(nèi)。下面的結(jié)論成立 ： （ I） ? ?2 3 6?? 的零解是穩(wěn)定的，當且僅當 ? ? 1A? ? 和特征值的單位模量半單。 自治線性系統(tǒng) 在本小節(jié)中，我們專門對上一節(jié)的自治系統(tǒng)（時間不變）的結(jié)果 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 11 ? ? ? ?1x n Ax n?? ? ?2 3 6?? 在接下來的定理，我們概述線性自治系統(tǒng) ? ?2 3 6?? 的主要穩(wěn)定結(jié)果。 定理 （ 1） 若 ? ?1 1ki ijan???， 1 jk??， 0nn? 則系統(tǒng) 的零解是 一致 穩(wěn)定的。 推論 。對于線性系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 下面的結(jié)論成立 ： （ i）本零解是穩(wěn)定的，當且僅當所有的解是有界的?？紤]系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 。在下面的結(jié)果，我們表達了穩(wěn)定矩陣 ??n? 系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 的根本條件。 ? ? ? ? ? ?1x n A n x n?? , 0 0nn?? ? ?2 3 1?? 我們假設 ??An 對于 0nn? 是非退化的。一個固定的點 x? 的 連續(xù)映射 f 是漸近穩(wěn)定當且僅當有一個開區(qū)間 ? ?,ab 含 x?例如， ? ?2f x x? 的 a x x??? 和 ? ?2f x x? 的 x x b???。 為了方便定 理的證明，我們首先建立一個穩(wěn)定的 相對于獨立的結(jié)果 ，因為 f 不要求可微性。 定理 。 （四） 零解是一致漸近穩(wěn)定（從而指數(shù)穩(wěn)定），當且僅當 ? ? 001n nnin a i M?? ???? ? ?2 2 9?? 對于一些 0M? ， 01???。該解 是由 ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , 1 1x n n x n n x? ? ?決定的 。如果 ? ? ? ?sin 1a i i??則條件成立。因為? ?1 expii???? ， 它遵循 ? ? ? ?00010e xp e xp e xp 1nn iii n i nn M n M??? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ??? 由于 0?? 和 0 0n? ， 如 果 我 們 讓 ? ?2M??? ， 然 后 0x ?? 意味著? ? ? ?0 0 0,x n n x n x ?? ? ?。此條件成立的情況下，如果 ? ? ? ?1 iai ??? 其中01???。 1． 該 標量方程 ? ? ? ?1x n x n?? 的 解 由下式給出 的 ? ?0 0 0,x n n x x? ，因此零解是均勻穩(wěn)定，但不 是 漸近穩(wěn)定的。證明 ??2 和 ??3 跟證明 ??1 的時候類似。這意味著，在穩(wěn)定的定義中的 ? 是 相對于 初始時間 0n 獨立的 。請注意，? ?000,x n r n x? 和 ? ?00,y n m x 在 0nm? 時 相 交 。對于自治系統(tǒng) ? ?224?? ，下面的語句 是關于 平衡點 x? ： ? ?? ?? ?123S USAS UASA UA??? 證明。 對于自治系統(tǒng) ? ? ? ?? ?1x n f x n?? ? ?224?? 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 8 我們有下面的結(jié)果。然而，對于特殊類別的方程，這些圖 45 中的箭頭可能逆轉(zhuǎn)。 圖 25 顯示了層次結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的概念。 圖 24 描述了一致漸近穩(wěn)定的零解。此圖被稱為相空間畫像，并且將在后面的章節(jié)中廣泛使用。下圖所示，未來所有狀態(tài) ? ?00,x nnx 中， 0nn? 時。 如果在部分（ 二 ），（ 三 ） ??? 或部分（ 四 ） ??? 時，相應的穩(wěn)定是被認為是全局性的。 （四） 指 數(shù) 穩(wěn) 定 性 ， 如 果 存 在 0, 0M? ??，和 ??0,1?? 。 一致漸近 的條件可能會轉(zhuǎn)述成，存在 0?? ，使得每個 ? 和 0n 存在 ? ?NN?? 獨立 0n ，當 ? ?00,x n n x x ????對所有 0n n N??，每當0xx????。 （二） 漸近 性，如果存在 ? ?0= n?? 當0xx????意味著 ? ?00lim , , =n x n n x x??? ， 一致漸近 。 定義 平衡點 x? 在 ? ?2 2 1?? 被說成是： （一） 穩(wěn)定性，如果給定的 0?? 和 0 0n? ，存在 ? ?0,n? ? ?? ，0xx????意味著 ? ?00,x n n x x ????對所有 0nn? 都是均勻穩(wěn)定的。? ?? ? ? ? ? ?,f n x n A n x n? ，其中 ??An 是一個 kk? 矩陣。由于在許多情況下，也不是很方便，使這個坐標變換，我們將假設 0x?? ，除非它是這樣做的更方便。在大多數(shù)的文獻中 x? 被假定為原點 O，被稱為零解?；叵胍幌?，? ?2 2 1?? 被說成是自主或時 間 不變的，如果變量 n 不顯式出現(xiàn)在右邊 的方程 ? ?? ? ? ?? ?,f n x n f x n? 。 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 4 表 21 全局的穩(wěn)定性 讓我 們考慮向量差分方程 ? ? ? ?? ?1,x n f n x n?? ? ?00x n x? ? ?2 2 1?? 其中 ? ? ,:k k kx n f ?? ? ?。 一個可以 用 K K 矩陣 A 定義這個 范數(shù) 為 0maxxAxA x?? ? ?2 1 1?? 它可以容易 11m a x m a xxxA A x A x???? 使用這個定義，可以很容易地計算 A 相對上述三種范數(shù)如表 21 所示。實值函數(shù)的向量空間 V 被稱為范數(shù)， 用 表示，如果下面的性質(zhì)成立： ??10x ? 和 0x? 當且僅當 0x? ? ?2 xx??? 對于所有的 xV? 和標量 ? ? ?3 x y x y? ? ?對于所有的 ,xy V? . 最常用的三個范數(shù) k 如圖 21 所示。 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 3 2 穩(wěn)定性理論 矩陣的范數(shù) 我們開始本節(jié)引入的概念， 向量和矩陣的范數(shù)。當引入隔離后，總種群（ N）分為由易感個體組成的子種群（ S），由已經(jīng)染病但未被隔離的個體組成的子種群（ I）和由已經(jīng)染病并且被隔離的個體組成的子總?cè)海?Q）。這時相應的傳染病模型稱為 SIS模型。設總種群（ N）分 為易感類（ S）和染病類（ I）。 假設在種群中無傳染病存在時，總?cè)旱脑鲩L規(guī)律就是種群總數(shù)與出生率和正常死亡率差的乘積。 依照分離的時間間隔來模擬世界，這是一種有效的方法就像時鐘一樣，不是連續(xù)滑動，而是一秒一秒往前跳動。對它的管理和研究，也是多方面的，只用常規(guī)的定性描述和一般的數(shù)理統(tǒng)計，搞天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 2 不清它的內(nèi)在規(guī)律。在其彈性限度以內(nèi)的外來干擾下，生態(tài)系統(tǒng)通過自我調(diào)節(jié)，可以恢復到初始的穩(wěn)定狀態(tài)或者保持一定的穩(wěn)態(tài)平衡。任何一個生態(tài)系統(tǒng)都是結(jié)構(gòu)和功能相互依存，相互制約的統(tǒng)一體。其標志性的著作是 Bailey 于 1957 年出版、 1975 年第二版的專著，近 20 年來，國際上傳染病動力學的研究進展迅速，大量的數(shù)學模型被用于研究各種各樣的傳染病模型，由于隔離和接種是行之有效的控制傳染病蔓延的極為重要的措施，因此研究帶有隔離或接種的傳染病模型就十分重要。 1926 年Kermack 和 McKendrick 為研究 16651666 黑死病在倫敦的流行規(guī)律以及 1906 年瘟疫在孟買的 流行規(guī)律，構(gòu)造了著名的 SIR 倉室模型，提出了疾病流行與否的閥值理論，為傳染病動力學的研究奠定了基礎。 1906 年 Hamer 為理解麻疹的反復流行，構(gòu)造并分析了一個離散模型。傳染病動力學的研究中，模型的建立一直是直觀重要的。因此，傳染病的防制是關系到人類健康和國計民生的重大問題，對疾病流行規(guī)律的定量研究是防制工作的重要依據(jù)。 Differential equation。再根據(jù)得到的雅可比矩陣依據(jù)