注冊巖土工程師數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料-文庫吧資料
2024-08-28 17:44本頁面
【正文】 法則總有確定的值和它對 應(yīng)，則稱 z 是 變量 x,y 的二元函數(shù)，記為 z=f(x,y)點(diǎn)集 D 稱為該函數(shù)的定義域， x,y 稱為自變量， z 稱為因變量。求得 f(3)、 f(2)、f(1)、 f(4)可得在 x=4 處取得它在 [3， 4]上的最大值，在 x=1 取得它在該區(qū)間上的最小值。 例 1求函數(shù) y=2x3+3x212x+14在 [3， 4]上的最大值與最小值。當(dāng) x 取 1 左側(cè)鄰近的值時， f’(x)0 ，當(dāng) x 取 1 右側(cè)鄰近的值時， f’(x)0 ，所以在 x=1 處沒有極值。 例 1求函數(shù) f(x)=（ x21） 3+1 的極值。 第一種充分條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)且 f’(x)=0 如果當(dāng) x 取 x0左側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為正，當(dāng) x 取 x0 右側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為負(fù)，那么 f(x)在x0 處取得極大值；如果當(dāng) x 取 x0 左側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為負(fù)，當(dāng) x 取 x0 右側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為正，那么 f(x)在 x0 處取得極小值；如果當(dāng) x 取 x0 左右兩側(cè)鄰近的值時， f’(x) 恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù) f(x)在 x0 處沒有極值。 必要條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 處具有導(dǎo)數(shù)，且在 x0 處取得極值，那么這函數(shù)在 x0 處的導(dǎo)數(shù) f’(x)=0 。 羅爾中值定理：如下圖所示， 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程 f’(x)=0 的根及 f’(x) 不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù) f(x)的定義區(qū)間，就能保證 f’(x)在各個部分區(qū)間保持固定符號，因而函數(shù) f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。 如下圖所示： 。 難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。 回歸分析 ：平方和分解公式： 第三講 微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、內(nèi)容提要 ：本講主要是講解 函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題。 用的統(tǒng)計(jì)技術(shù)：方差分析與回歸分析。在標(biāo)準(zhǔn)差已知時， μ 的 95%的置信區(qū)間為： 假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟： （ 1）、建立假設(shè) （ 2）、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕的形式 （ 3）、給出顯著性水平 α ，常取 α 為 （ 4）、定出臨界值 c，寫出拒絕域 W，作出判斷。 點(diǎn)估計(jì)：若取樣本的某個函數(shù) 作為未知參數(shù)估計(jì)量，則稱 為 θ 的點(diǎn)估計(jì)量，稱 為θ 的點(diǎn)估計(jì)值。 例 總體 X 服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布， X1， X2， ?Xn 是從中抽取的樣本，試求 參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)： 參數(shù)估計(jì)：設(shè)總體 X 服從 f(x,θ )的分布，其中 θ 為未知參數(shù)， X1， X2， ?Xn 是從總體 X 中抽取的樣本，用樣本的函數(shù)即統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計(jì)。 統(tǒng)計(jì)量：不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。 樣本 ：從總體中抽取的一部分個體叫做樣本，樣本中所所包含的個體的數(shù)量叫做樣本容量。η ） =D(ξ)+D （ η ） 常用隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征： 例 列函數(shù)中哪個不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)（ C ） 例 設(shè)函數(shù) F1（ x）與 F2（ x）分別是隨機(jī)變量 x1與 x2的分布函數(shù)，為使 F(x)=a F1（ x）b F2（ x）為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)中應(yīng)?。? A ） 例 7 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) 一定滿足（ C） 例 記正態(tài)分布 N(a,?2) 的分布函數(shù)為 Fa, ? (x),其 X~N（ 1， 4），則下列計(jì)算正確的是（ D） 例 已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布，且 E（ x） =， D(x)=，則二項(xiàng)分布的參數(shù)為多少 解： E（ x） =np=, D(x)=np(1p)=，可解得 n=6,p= 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念： 總體：在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對象的全體稱為總體。η ） =E（ ξ ） 177。 隨機(jī)變量的分布函數(shù)： 定義：隨機(jī)變量 X 取值不大于實(shí)數(shù) x 的概率 p（ X≤x ）叫做隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)，記作F(x)=p（ X≤x ） 性質(zhì)：分布函數(shù)具有以下的性質(zhì)： （ 1） 離散型隨機(jī)變量及其分布： 有一類隨機(jī)變量，它所有可能取的值是有限個或可數(shù)多 個數(shù)值，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量，它的分布稱為離散型分布。 例 從一批由 90 件正品、 3 件次品組成的產(chǎn)品中，任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。 這時，稱所討論的問題是古典概型。 解：利用全概率公式得： P（ B） =P（ A1） P（ B|A1） + P（ A2） P（ B|A2） + P（ A3） P（ B|A3） =++= 例 兩個小組生產(chǎn)同樣的零件，第一組的廢品率為 2%，第二組產(chǎn)品為第一組的 2 倍，而廢品率為 3%，若兩組生產(chǎn)的零件放在一起，從中任選一件，經(jīng)檢查是廢品，則這件廢品是第一組生產(chǎn)的概率為多少。 二項(xiàng)概率公式：設(shè)每個試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)的概率為 p，則 n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 恰好出現(xiàn) k 次的概率 (k=0,1,2,?,n) 此公式稱為二項(xiàng)概率公式。當(dāng) P（ A）、 P（ B）都不為零時，從事件 A、 B 相互獨(dú)立能推得（ B|A） =P（ B）或 P（ A|B） =P（ A） 定理：若四對事件 A、 B； A、 ； 、 B； 、 中有一對相互獨(dú)立，則另外三對也是相互獨(dú)立的。 相等：若兩事件 A 與 B 相互相互包含，即 A B 且 B A，那么稱事件 A 與 B 相等，記作 A=B 和事件：稱 “ 事件 A 與事件 B 中至少有一個發(fā)生 ” 的事件為 A 與 B 的和事件，記為 A∪B 積事件：稱 “ 事件 A 與事件 B 同時發(fā)生 ” 的事件為 A 與 B 的積事件，記為 A∩B 簡記為 AB 互不相容：若事件 A 與事件 B 不能同時發(fā)生，則稱 A 與 B 互不相容，記作 AB= 差事件：稱 “ 事件 A 發(fā)生且事件 B 不發(fā)生 ” 的事件為 A 與 B 的差，記作 AB 對立事件：若事件 A 與 B 滿足 A∪B= ( 為必然事件 )，同時 AB= ，稱 A 與 B是對立的，記 B= 交換律：對任意兩事件 A 和 B 有 A∪B=B∪A ， AB=BA， 結(jié)合律：對任意事件 A、
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