【正文】 分部積分法 — 設(shè) vu, 在 ],[ ba 上連續(xù)可導(dǎo)，則 ?? ?? bababa vduuvudv 。 定理 2 （牛頓 — 萊布尼茲公式）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )(xF 為 )(xf 的一個原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba ??? 。 【例題 1】設(shè) )(xf 連續(xù)，且 ? ?? x dttftxx 0 )()()(? ，求 )(x?? 。 （ 2） )()]([)()( xxfdttfdxd xa ??? ??? 。 三、定積分基本理論 定理 1 設(shè) ],[)( baCxf ? ，令 ??? xa dttfx )()( ，則 )(x? 為 )(xf 的一個原函數(shù)，即)()( xfx ??? 。 （ 2） ???? n0? ，反之不對。 高等數(shù)學(xué)部分 定積分理論 一、定積分的產(chǎn)生背景 曲邊梯形的面積問題 變速運動路程問題 二、定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)，若 ini i xf ???? )(lim 10 ?? 存在，稱)(xf 在 ],[ ba 上可積，極限稱為 )(xf 在 ],[ ba 上的定積分，記 ?ba dxxf )( ，即?ba dxxf )( ini i xf ?? ??? )(lim 10 ?? 。 【例題 3】設(shè) A 為 nm? 矩陣， B 為 mn? 矩陣，其中 mn? ，且 EAB? ，證明：mBr ?)( 。 【矩陣秩例題】 【例題 1】設(shè) ??, 皆為三維列向量， TTA ???? ?? ，證明： 2)( ?Ar 。 （ 4）設(shè) A 為 nm? 矩陣， B 為 sn? 矩陣，且 OAB? ，則 nBrAr ?? )()( 。 （ 2）設(shè) BA, 為同型矩陣，則 )()()( BrArBAr ??? 。 （ 4）設(shè)???????????????naaa?21?，則 ??? ??? OOr ??? ,1 ,0)(。 （ 2） 1)( ?Ar 的充分必要條件是 OA? 。 矩陣秩的求法 將矩陣進(jìn)行初等行變換階梯化所得的非零行數(shù)即為矩陣的秩。 （ 2）設(shè) A 為 n 階矩陣，若 0|| ?A ，則 nAr ?)( ，稱 A 為滿秩矩陣。 【注解】 （ 1）任何矩陣的秩都既不超過其行數(shù)也不超過其列數(shù)。 第四步 三個問題 【問題 1】設(shè) A 為 n 階可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣？ 【問題 2】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為???????? OO OEr ？ 【問題 3】 設(shè) A 為 n 階不可逆矩陣， A 能夠經(jīng)過有限次初等變換化為 ???????? OO OEr？ 第五步 初等變換法求逆陣及兩個相關(guān)的定理 定理（初等變換法求逆陣）設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，則 A 可以經(jīng)過有 限次初等行變換化為初等矩陣。 （ 3） )(kEij — 單位矩陣的 j 行的 k 倍加到 i 行或者單位矩陣的 i 列的 k 倍加到 j列所得到的矩陣。 （ 2） )0)(( ?ccEi — 單位矩陣的 i 行乘以 c 或單位矩陣的 i 列乘以 c 。 第三步 三種初等矩陣 （ 1） ijE — 單位矩陣的 i 行與 j 行對調(diào)或者 i 列與 j 列對調(diào)所得的矩陣。 求矩陣 逆陣的方法 方法一：伴隨矩陣法（略） 方法二：初等變換法 第一步 方程組的三種同解變形 （ 1）對調(diào)兩個方程的位置方程組的解不變； （ 2）某個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù)方程組的解不變； （ 3）某個方程的倍數(shù)加到另一個方程方程組的解不變。 四、矩陣兩大核心為題 （一）逆陣 定義 — 設(shè) A 為 n 階矩陣，若存在 n 階矩陣 B ，使得 EBA? ，則稱 A 為可逆矩陣， B 稱為 A 的逆矩陣，記為 1??AB 。 【注解】 （ 1）第一種解的情況產(chǎn)生矩陣的第一個核心問題 — 矩陣的逆陣。 三、矩陣問題的產(chǎn)生 初一數(shù)學(xué)問題：解一元一次方程 bax? 情形一：當(dāng) 0?a 時， bax? 兩邊同時乘以 a1 得 baaxa ??? 11 ，于是 abx? ； 情形二：當(dāng) 0,0 ?? ba 時，方程 bax? 無解； 情形三：當(dāng) 0,0 ?? ba 時，方程 bax? 有無數(shù)個解。 【例題 2】討 論方程組 ??? ?? ??? 2 132321 xx xxx解的情況，并分析原因。 【例題 2】討論方程組 ??? ?? ??? 0 0231321 xx xxx解的情況，并分析原因。 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ 2） 稱（ 2）為非齊線性方程組。 （ 4）設(shè) 011)( axaxaxf nn ???? ?，則定義 EaAaAaAf nn 01)( ???? ?，且關(guān)于矩陣 A 的矩陣多項式可因式分解。 （ 2）矩陣乘法沒有交換律。 （ 3）矩陣與矩陣之積： 設(shè)??????????????????????????????nsnnssmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ????????????????msmmsscccccccccCAB???????212222111211， 其中 njinjiij babac ??? ?11 （ njmi ,2,1。 矩陣運算 （ 1）矩陣加、減法： ??????????????????????????????mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA??????????????212222111211212222111211,，則 ?????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA???????221122222221211112121111。請大家多關(guān)注，我常常會推薦一些很好用的東西給大家。大家有選擇性的看，都是個人覺得非常好的。若兩個矩陣同型且對應(yīng)元素相同，稱兩個矩陣相等。 （ 4）對稱矩陣 — 元素關(guān)于主對角線成軸對稱的矩陣稱為對稱矩陣。 （ 2）方陣 — 行數(shù)和列數(shù)都相等的矩陣稱為方陣。 研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班輔導(dǎo)講義 線性代數(shù)部分 — 矩陣?yán)碚? 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。 【例題 2】計算 ? ?1000 cos1 dxx?。 【例題 1】計算 ?? ?2241sin?? dxexx。 （ 2） ?? ? TnT dxxfndxxf00 )()(。 周期函數(shù)定積分性質(zhì) 設(shè) )(xf 以 T 為周期，則 （ 1） ?? ?? TTaa dxxfdxxf 0 )()(，其中 a 為任意常數(shù)（周期函數(shù)的平移性質(zhì)）。 （ 2）計算 ??22 |sin|a rc ta n?? dxxe x。 【例題 1】設(shè) ],[)(),( aaCxgxf ?? ，其中 )(,)()( xgAxfxf ??? 為偶函數(shù)，證明： ?? ?? aaa dxxgAdxxgxf 0 )()()( 。 （ 2）若 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 （二）分部積分法 — ?? ?? bababa vduuvudv。 【證明】由 )()(),()( xfxxfxF ?? ??? 得 0)()(])()([ ?????? xfxfxxF ， 從而 tconsxxF ta n)()( ??? ， 于是 )()()()( aaFbbF ????? ，注意到 0)( ??a ， 所以 )()()( aFbFb ??? ，即 )()()( aFbFdxxfba ???。 【解答】 ?? ?????? xx txdtxfdttxtfx0 22220 22 )()(21)()(? ?? ??? ?? 2222 00 )(21)(21 xxutx duufduuf ， )(2)(21)( 22 xxfxxfx ????? 。 【解答】 ??? ???? xxx dtttfdttfxdttftxx000 )()()()()(?， ?? ????? xx dttfxxfxxfdttfx 00 )()()()()(? ， )()( xfx ???? 。 （ 3） )()]([)()]([)(1122)( )(21 xxfxxfdttfdxd xx ?????? ?????。 【注解】 （ 1）連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。 6（積分中值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則存在 ],[ ba?? ，使得 ))(()( abfdxxfba ??? ?。 （ 1） )(|)(|)( badxxfdxxf baba ?? ??。 設(shè) )(0)( bxaxf ??? ，則 0)( ??ba dxxf。 ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(。 ? ????????? ?? 10 2222 1])(1 1)2(1 1)1(1 1[1lim xdxnnnnnn ? 三、定積分的普通性質(zhì) ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([。 【解答】 ?? ??????101 21211lim dxxnin nin。 則 ????? ???? ninba abniafn abdxxf1 )]([lim)(。 （ 2） ???? n0? ，反之不對。 【注解】 （ 1）極限與區(qū)間的劃分及 i? 的取法無關(guān)。 （ 1）取 bxxxa n ????? ?10 ， ],[],[],[],[ 12110 nn xxxxxxba ????? ?， 其中 )1(1 nixxx iii ????? ? ； （ 2）任取 )1](,[ 1 nixx iii ??? ?? ，ini i xfA ???? )(1 ?； （ 3）取 }{max1 ini x?? ???，則ini i xfA ?? ??? )(lim 10 ??。公開課二：定積分理論 一、實際應(yīng)用背景 運動問題 — 設(shè)物體運動速度為 )(tvv? ，求 ],[ bat? 上物體走過的路程。 （ 1）取 bttta n ????? ?10 ， ],[],[],[],[ 12110 nn ttttttba ????? ?， 其中 )1(1 nittt iii ????? ? ； （ 2）任取 )1](,[ 1 nixx iii ??? ?? ，ini i tfS ???? )(1 ?； （ 3）取 }{max1 ini x?? ???，則ini i xfS ?? ??? )(lim 10 ?? 曲邊梯形的面積 — 設(shè)曲線 )(0)(: bxaxfyL ???? ，由 bxaxL ?? , 及 x 軸圍成的區(qū)域稱為曲邊梯形，求其面積。 二、定積分理論 （一）定積分的定義 — 設(shè) )(xf 為 ],[ ba 上的有界函數(shù)， （ 1）取 bxxxa n ????? ?10 ， ],[],[],[],[ 12110 nn xxxxxxba ????? ?， 其中 )1(1 nixxx iii ????? ? ； （ 2）任取 )1](,[ 1 nixx iii ??? ?? ，作ini i xf ??? )(1 ?； （ 3）取 }{max1 ini x?? ???，若ini i xf ???? )(lim 10 ??存在，稱 )(xf 在 ],[ ba 上可積，極限稱為 )(xf在 ],[