專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料全-文庫吧資料
2025-04-22 12:52本頁面
【正文】 這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價(jià)無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價(jià)的無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。當(dāng)無窮大無窮小當(dāng)為無窮小無窮大性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。無窮小量與無窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。記作。（5）無窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?。在不同的變化過程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。：可表示為A與一個(gè)無窮小量之和。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。注意：。（四）函數(shù)極限的定理（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。x)=1+y=arctanx不存在。f(x)=1+y=arctanx不存在。y=f(x)x→+∞f(x)x→？x→+∞，f(x)=2+→2例：函數(shù)f（x）=2+ex，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→？解：f（x）=2+ex=2+，x→+∞，f（x）=2+→2所以（3）當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）的極限是A，記作x→∞f(x)→？則f(x)=2+(x＜0)x→∞,x→+∞f(x)=2+→2例：函數(shù)，當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→？解：當(dāng)x→∞時(shí)，x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時(shí)f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x→+∞以及x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。x→1時(shí)f(x)→?x≠1x→1f(x)→2對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)，f（x）的左極限是2，右極限也是2。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的左極限是1，即有當(dāng)x從0的右邊無限地趨于0時(shí)，f（x）無限地趨于一個(gè)常數(shù)1。注意：這個(gè)定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如：無限的趨向0無限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。定義對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作 比如：無限的趨向0，無限的趨向1否則，對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn不是無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列{xn}沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說數(shù)列{xn}可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3…一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。[主要知識(shí)內(nèi)容]（一）數(shù)列的極限定義按一定順序排列的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作{xn}，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1）1，3，5，…，（2n1），…（等差數(shù)列）（2）（等比數(shù)列）（3）（遞增數(shù)列）（4）1，0，1，0，…，…（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。
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