【正文】 A、 B、 C、 D、 E、 F，若第一步取了 (AB， CD， EF)，則 C26C24C22種分法中還有 (AB、 EF、 CD)， (CD、 AB、 EF)、 (CD、 EF、 AB)、 (EF、 CD、 AB)、 (EF、 AB、CD)共有 A33種情況，而且這 A33種情況僅是 AB、 CD、 EF 的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有 C26C24C22A33 ＝ 15(種 )． (4)在問題 (3)的基礎上再分配，故分配方式有 C26C24C22A33 1＝ n！ (叫做 n 的階乘 )． 2． 組合 (1)組合的定義：一般地，從 n 個 不同 元素中取 出 m(m≤ n)個元素并成一組，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合． (2)組合數(shù)的定義：從 n 個不同元素中取出 m(m≤ n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數(shù)．用符號 Cmn表示． (3)組合數(shù)公式 Cmn＝ AmnAmm＝n?n－ 1??n－ 2?? ?n－ m＋ 1?m！ ＝n！m！ ?n－ m?！ (n， m∈ N*，且 m≤ n)．特別地 C0n＝ 1. (4)組合數(shù)的性質： ① Cmn＝ Cn－ mn ； ② Cmn＋ 1＝ Cmn＋ Cm－ 1n . 一個區(qū)別 排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ． 取出元素后交換順序，如果與順序有關是排列，如果與順序無關即是組合． 兩個公式 (1)排列數(shù)公式 Amn＝ n！?n－ m?！ (2)組合數(shù)公式 Cmn＝ n！m！ ?n－ m?！ 利用這兩個公式可計算排列問題中的排列數(shù)和組合問題中的組合數(shù)． ① 解決排列組合問題可遵循 “ 先組合后排列 ” 的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關鍵是在計算中體現(xiàn) “ 有序 ” 和 “ 無序 ” ． ② 要能夠寫出所有符合條件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解， 檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 四字口訣 求解排列組合問題的思路： “ 排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． ” 雙基自測 1． 8 名運動員參加男子 100 米的決賽．已知運動場有從內到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8 的八條跑道，若指定的 3 名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)數(shù)字 (如： 4,5,6)，則參加比賽的這 8 名運動員安排跑道的方式共有 ( )． A． 360 種 B． 4 320 種 C． 720 種 D． 2 160 種 解析 本題考 查排列組合知識，可分步完成，先從 8 個數(shù)字中取出 3 個連續(xù)的三個數(shù)字共有 6 種可能，將指定的 3 名運動員安排在這三個編號的跑道上，最后剩下的 5 個排在其他的編號的 5 個跑道上，故共有 6A33A55＝ 4 320 種方式． 答案 B 2．以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有 ( )． A． 200 個 B． 190 個 C． 185 個 D． 180 個 解析 正五棱柱共有 10 個頂點，若每四個頂點構成一個四面體，共可構成 C410＝210 個四面體．其中 四點在同一平面內的有三類： (1)每一底面的五點中選四點的組合方法有 2C45個． (2)五條側棱中的任意兩條棱上的四點有 C25個． (3)一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行 (例如 AB∥ E1C1)，這樣共面的四點共有 2C15個． 所以 C410－ 2C45－ C25－ 2C15＝ 180(個 )，選 D. 答案 D 3． (2020北京 )用數(shù)字 2,3 組成四位數(shù)，且數(shù)字 2,3 至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有 ________個 (用數(shù)字作答 )． [審題視點 ] 組成這個四位數(shù)須分 4步完成，故用分步乘法計數(shù)原理． 解析 法一 用 2,3 組成四位數(shù)共有 2 2 2 2＝ 16(個 )，其中不出現(xiàn) 2 或不出現(xiàn) 3 的共 2 個，因此滿足條件的四位數(shù)共有 16－ 2＝ 14(個 )． 法二 滿足條件的四位數(shù)可 分為三類：第一類含有一個 2，三個 3，共有 4 個；第二類含有三個 2，一個 3 共有 4 個；第三類含有二個 2，二個 3 共有 C24＝ 6(個 )，因此滿足條件的四位數(shù)共有 2 4＋ C24＝ 14(個 )． 答案 14 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事．簡單說使用分步計數(shù)原理的原則是步與步之間的方法 “ 相互獨立，逐步完成 ” ． 【訓練 2】 由數(shù)字 1,2,3,4， (1)可組成多少個 3 位數(shù)； (2)可組成多少個沒有重復數(shù)字的 3 位數(shù)； (3)可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字． 解 (1)百位數(shù)共有 4 種排法；十位數(shù)共有 4 種排法；個位數(shù)共有 4 種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理共可組成 43＝ 64 個 3 位數(shù)． (2)百位上共有 4 種排法；十位上共有 3 種排法；個位上共有 2 種排法，由分步計數(shù)原理共可排成沒有重復數(shù)字的 3 位數(shù) 4 3 2＝ 24(個 )． (3)排出的三位數(shù)分別是 43 43 42 321，共 4 個． 考向三 涂色問題 【例 3】 ? 如圖，用 5 種不同的顏色給圖中 A、 B、 C、 D 四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？ [審題視點 ] 根據(jù)乘法原理逐塊涂色，要注意在不相鄰的區(qū)域內可使用同一種顏色． 解 法一 如題圖分四個步驟來完成涂色這件事： 涂 A有 5 種涂法；涂 B 有 4 種方法；涂 C 有 3 種方法；涂 D 有 3 種方法 (還可以使用涂 A的顏色 )． 根據(jù)分步計數(shù)原理共有 5 4 3 3＝ 180 種涂色方法． 法二 由于 A、 B、 C 兩兩相鄰，因此三個區(qū)域的顏色互不相同，共有 A35＝ 60 種涂法；又 D 與 B、 C 相鄰、因此 D 有 3 種涂法；由分步計數(shù)原理知共有 60 3＝ 180 種涂法． 涂色問題的實質是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理． 【訓練 3】 如圖所示，將一 個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有 5 種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)． 解 法一 可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法原理即可得出結論．由題設，四棱錐 S ABCD的頂點 S、 A、 B 所染的顏色互不相同，它們共有 5 4 3＝ 60 種染色方法． 當 S、 A、 B 染好時，不妨設其顏色分別為 3，若 C 染 2，則 D 可染 3 或 4或 5，有 3 種染法；若 C 染 4，則 D 可染 3 或 5，有 2 種染法，若 C 染 5，則 D可染 3 或 4，有 2 種染法．可見，當 S、 A、 B 已染好時， C、 D 還有 7 種染法，故不同的染色方法有 60 7＝ 420(種 )． 法二 以 S、 A、 B、 C、 D 順序分步染色 第一步， S 點染色，有 5 種方法； 第二步， A點染色，與 S 在同一條棱上，有 4 種方法； 第三步， B 點染色，與 S、 A分別在同一條棱上，有 3 種方法； 第四步， C 點染色，也有 3 種方法，但考慮到 D 點與 S、 A、 C 相鄰，需要針對A 與 C 是否同色進行分類，當 A 與 C 同色時， D 點有 3 種染色方法；當 A 與 C不同色時，因為 C 與 S、 B 也不同色，所以 C 點有 2 種染色方法， D 點也有 2 種染色方法．由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的 染色方法共有5 4 3 (1 3＋ 2 2)＝ 420(種 )． 法三 按所用顏色種數(shù)分類 第一類， 5 種顏色全用