【正文】 SSsrSSSFsSSsSBSSFrSSrSAFTEEEEBABABABABAEBBBBBEAAAAA總和誤差交互作用因素因素比均方和自由度平方和方差來(lái)源 例題選講： 無(wú) 重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 例 1 (講義例 1) 設(shè)四名工人操作機(jī)器 321 , AAA 各一天 , 其日產(chǎn)量如表 所示 , 問(wèn)不同機(jī)器或不同工人對(duì)日產(chǎn)量是否有顯著影響 ( ?? )? 表 823 1B 2B 3B 4B 1A 50 47 47 53 2A 53 54 57 58 3A 52 42 41 48 例 2 下面給出了在某 5 個(gè)不同地點(diǎn)，不同時(shí)間空氣中的顆粒狀物（以 mg/m3 計(jì)）的含量的數(shù)據(jù)： 因素 B （地點(diǎn)） 1 2 3 4 5 ?iT 因素A時(shí)間 1995 年 10月 76 67 81 56 51 331 1996 年 1 月 82 69 96 59 70 376 1996 年 5 月 68 59 67 54 42 290 1996 年 8 月 63 56 64 58 37 278 jT? 289 251 308 227 200 1275 試在水平 ?? 下檢驗(yàn) . 在不同時(shí)間的顆粒狀物含量的均值有無(wú)顯著差異 . 等 重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 例 3 (講義例 2) 在某種金屬材料的生產(chǎn)過(guò)程中 , 對(duì)熱處理溫度 (因素 B)與時(shí)間 (因素 A)各取兩個(gè)水平 , 產(chǎn)品強(qiáng)度的測(cè)定結(jié)果 (相對(duì)值 )如表 所示 . 在同一條件下每個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)兩次 . 設(shè)各水平搭配下強(qiáng)度的總體服從正態(tài)分布且方差相同 . 各樣本獨(dú)立 . 問(wèn)熱處理溫度 , 時(shí)間以及這兩者的交互作用對(duì)產(chǎn)品強(qiáng)度是否有顯著的影響 (取 ?? )? 表 8— 2— 6 工 人 日 產(chǎn) 量 機(jī) 器 B A 1B 2B ..iT 1A 2A 172 ..jT 175 例 4 為了保證某零件鍍鉻的質(zhì)量 , 需重點(diǎn)考察通電方法和液溫的影響 . 通電方法選取三個(gè)水平 : 1A (現(xiàn)行方法 ), 2A (改進(jìn)方案一 ), 3A (改進(jìn)方案二 )。1(,1( ?? trssF? 類似地，當(dāng) BAH?0 為真時(shí)，可以證明 F BA? =))1(( )1)(1( ? ??? trsS srS EBA~ ))。1(,1( ?? trsrF? 類似地 ，當(dāng) BH0 為真時(shí)，可以證明 FB =))1(( )1( ??trsS sSE B~ ))。 3. 檢驗(yàn)方法 當(dāng) AH0 為真時(shí)，可以證明 FA =))1(( )1( ??trsS rSE A~ ))。 稱總偏差平方和（稱為總變差）為 ST =???? ? ? ?risjtk ijk XX1 1 12)( 。rsBA rsBAHH ??? ??? ,: ,0: 12111 12110 ? ? 與無(wú)重復(fù)試驗(yàn)的情況類似，此類問(wèn)題的檢驗(yàn)方法也是建立在偏差平方和的分解上的。,1。,1 ?? ?? ），稱 ij? 為水平 Ai 和水平 Bj 的交互效應(yīng)， 這是由 Ai 與 Bj 搭配聯(lián)合起作用而引起的。,1 0~ 2 tksjri NXijkijkijkijijk ???相互獨(dú)立，各 ），（，? ???? 類似地，引入記號(hào)： ? ， , jiji ???? ?? 易見(jiàn) ?? ?ri i1 0? ， ?? ?sj j1 0? . 仍稱 ? 為總平均，稱 ? i 為水平 Ai 的效應(yīng)，稱 ? j 為水平 Bj 的效應(yīng) . 這樣可以將 ? ij 表示成 ? ij =? +? i + j? +? ij （ sjri ,1。,1。,1。,1。,1 tksjri ??? ??? . 1． 假設(shè)前提 1) ),(~ 2??ijijk NX ， 2,??ij 未知 ， 。,1 sj ?? 則 ST =??? ? ?risj ij rsTX1 122 , SA =s1 ?? ? ?ri i rsTT122 , SB = ?? ? ?sj j rsTTr1221 , SE =ST SA SB . 可得如下方差分析表 ： 表 822 無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表 1)1)(1()1)(1(/11/11??????????????rsSsrSSsrSSSFsSSsSBSSFrSSrSAFTEEEEBBBBBEBAAAA總和誤差因素因素比均方和自由度平方和方差來(lái)源 二、無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 設(shè)因素 A， B 作用于試驗(yàn)指標(biāo) . 因素 A 有 r 個(gè)水平 A1 ， A2 ， ?， Ar ，因素 B 有 s 個(gè)水平 B1 ， B2 ， ?， Bs . 對(duì)因素 A， B 的每一個(gè)水平的一對(duì)組合（ Ai ， Bj ）， (i=1， 2， ?， r，j=1， 2， ?， s)只進(jìn)行 )2(?tt 次實(shí)驗(yàn) （稱為等重復(fù)實(shí)驗(yàn)），得到 rst 個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 ijkX （ ),1。1)(1(,1( ??? srsF? 實(shí)際分析中，常采用如下簡(jiǎn)便算法和記號(hào)： 記 T=??? ? ?risj ij XrsX1 1 , T?i =?? ?? isj ij XsX1, 。1)(1(,1( ??? srrF? 類似地，當(dāng) BH0 為真時(shí)，可以證明 FB =))1)(1( )1( ?? ?srS sSE B~ ))。 2) EBAT SSSS , 相互獨(dú)立 . 3. 檢驗(yàn)方法 當(dāng) AH0 為真時(shí)，可以證明 FA =))1)(1( )1( ?? ?srS rSE A~ ))。,1,1。,1, ?? 引入記號(hào)： ? = ??? ?risj ijrs 1 11 ? ， ?i? = ??sj ijs 11 ? ， i=1， 2， ?， r， j?? = ??ri ijr 11 ? ， j=1， 2， ?， s， ? i = ????i ， i=1， 2， ?， r， ? j = ????j ， j=1， 2， ?， s， 易見(jiàn) ?? ?ri i1 0?， ?? ?sj j1 0?. 稱 ? 為總平均，稱 ? i 為水平 Ai 的效應(yīng)， 稱 ? j 為水平 Bj的效應(yīng) . 且 ? ij =? +? i +? j . 于是上述模型進(jìn)一步 可寫(xiě)成 ?????????????????? ?? ?risjjiijijijijjiijNsjriX1 122.0,0,),0(~),2,1,2,1(,???????????相互獨(dú)立，未知，各?? 檢驗(yàn)假設(shè)： ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零rA rAHH ??? ??? ? ? ??? ???? .,: ,0: 211 210 不全為零sB sBHH ??? ??? ? ? 若 AH0 （或 BH0 ）成立，則認(rèn)為因素 )( BA或 的影響不顯著，否則影響顯著。未知，ijijijijijijN sjriX ????? ?? 22 ,),0(~ 。rjjjAH ??? ,: 211 ? 不全相等。,1 sjri ?? ?? 2) 每個(gè)總體的方差相同； 3) 各 ijX 相互獨(dú)立， .,1。4,3,2,1, ??? (在本例中 , 2,3,3,2 4321 ???? mmmm ). 由于商店間的差異已被控制在最小的范圍內(nèi) , 因此一種包裝在不同商店里的銷(xiāo)售量被看作為一種包裝的若干次重復(fù)觀察 , 所以可以把一種包裝看作一個(gè)總體 . 為比較四種包裝的銷(xiāo)售量是否相同 , 相當(dāng)于要比較的四個(gè) 總體的均值是否一致 . 簡(jiǎn)化起見(jiàn) ,需要給出若干假定 ,把所要回答的問(wèn)題歸結(jié)為下個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題 , 然后設(shè)法解決它 . 例 3 (講義例 3) 在例 1 中 ， 檢驗(yàn)假設(shè)（ ?? ） 32113210 ,:,: ?????? HH ?? 不全相等 . 例 4 (講義例 4) 在例 2 中 ， 檢驗(yàn)假設(shè)（ ?? ） 4321143210 ,:,: ???????? HH ??? 不全相等 . 第二節(jié) 雙因素試驗(yàn)的方差分析 在許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要同時(shí)考慮兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響 . 例如，要同時(shí)考慮工人的技術(shù)和機(jī)器對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量是否有顯著影響 . 這里涉及到工人的技術(shù)和機(jī)器這樣兩個(gè)因素 . 多因素方差分析與單因素方差分析的基本思想是一致的，不同之處就在于各因素不但對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)起作用，而且各因素不同水平的搭配也對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)起作用 . 統(tǒng)計(jì)學(xué)上把多因素不同水平的搭配對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響稱為交互作用 . 交互作用的效應(yīng)只有在有重復(fù)的試驗(yàn)中才能分析出來(lái) . 對(duì)于雙因素試驗(yàn)的方差分析，我們分為無(wú)重復(fù)和等重復(fù)試驗(yàn)兩種情況來(lái)討論 . 對(duì)無(wú)重復(fù)試驗(yàn)只需要檢驗(yàn)兩 個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著影響；而對(duì)等重復(fù)試驗(yàn)還要考察兩個(gè)因素的交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著影響 . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 無(wú)重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 ★ 例 1 ★ 例 2 等重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 ★ 數(shù)學(xué)模型 ★ 數(shù)學(xué)模型的改進(jìn) ★ 偏差平方和及其分解 ★ 偏差平方和的統(tǒng)計(jì)特征 ★ 檢驗(yàn)方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 習(xí)題 82 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、 無(wú) 重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析 設(shè)因素 A， B 作用于試驗(yàn)指標(biāo)。1(~ 22 ?nST ?? 2) 2/?ES ~ )(2 rn?? ，且 ?)( ESE ??? ?sjtk ijkXst 1 11 .2? 所以 )( / rnSE ? 為 2? 的無(wú)不偏估計(jì) . 3) 2/?AS ~ )1(2 ?r? ，且 2)1()( ??? rSE A ，因此 )1( ?rSA 為 2? 的無(wú)偏估計(jì) . 4) AE SS與 相互獨(dú)立 . 五、檢驗(yàn)方法 如果組間差異比組內(nèi)差異大的多， 即說(shuō)明因素的各水平間有顯著差異， r 個(gè)總體不能認(rèn)為是同一個(gè)正態(tài)總體，應(yīng)認(rèn)為 0H 不成立，此時(shí)，比值EASr Srn )1( )( ?? 有偏大的趨勢(shì) . 為此，選 用統(tǒng)計(jì)量 )( )1( rnS rSF EA ???=EASr Srn )1( )( ?? 在 0H 為真時(shí)，有 F =EASr Srn )1( )( ?? ~ F ).,1( rnr ?? 對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 a ，查 aF ),1( rnr ?? 的值，由樣本觀察值計(jì)算 ES