【正文】 O 的 直 徑 ． ⑴ 證明： ⑵解： 昌平 19． 如圖，已知直線 PA 交⊙ O 于 A、 B兩點(diǎn)， AE是⊙ O的直徑， C 為⊙ O 上一點(diǎn)，且AC 平分∠ PAE，過 點(diǎn) C 作 CD⊥ PA 于 D． （ 1） 求證： CD 是 ⊙ O 的切線； （ 2） 若 AD： DC=1： 3， AB=8，求⊙ O 的半 徑． 順義 20． 如圖， C 是 ⊙ O 的直徑 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 點(diǎn) D 在 ⊙ O 上， 且∠ A=30176。 AO，點(diǎn) D 是線段 OC（不與點(diǎn) O、點(diǎn) C 重合）上一動(dòng)點(diǎn)，在線段 OD 的 右側(cè)作正方形 ODEF,連接 CE、 BE，設(shè)線段 OD=t，△ CEB 的面積為 S，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式 ，并寫出自變量 t的取值范圍 ； 密云 23． 已知： 1x 、 2x 分別為關(guān)于 x 的一元二次方程 2 2 2 0m x x m? ? ? ?的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． （ 1） 設(shè) 1x 、 2x 均為兩個(gè)不相等的非零 整數(shù)根，求 m 的整數(shù)值； （ 2）利用圖象求關(guān)于 m 的方程 12 10x x m? ? ? ?的解． 通州 23． 已知二次函數(shù) 2 2 4 8y x a x a? ? ? ? ? （ 1）求證：無論 a 為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象 與 x 軸 總有兩個(gè)交點(diǎn) . （ 2）當(dāng) x≥ 2 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小，求 a 的取 值范圍 . （ 3）以二次函數(shù) 2 2 4 8y x a x a? ? ? ? ?圖象的頂點(diǎn) A 為一 個(gè)頂點(diǎn)作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形 AMN （ M， N 兩點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上），請(qǐng) 問： △ AMN 的面積是與 a無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由 . 東城 x 的一元二次方程 22( 4 1 ) 3 0x m x m m? ? ? ? ?. （ 1） 求證： 無論 m 取何實(shí)數(shù)時(shí) ，原方程 總 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ； （ 2） 若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè) 大 于 2，另一個(gè) 小 于 7，求 m 的取值范圍 ； （ 3）拋物線 22( 4 1 ) 3y x m x m m? ? ? ? ?與 x 軸交于點(diǎn) A、 B，與 y 軸交于點(diǎn) C，當(dāng) m?。?2）中符合題意的最小整數(shù)時(shí)， 將 此 拋物線向 上 平移 n個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在 △ ABC 的內(nèi)部（不包括 △ ABC 的邊界），求 n 的取值范圍（直接寫出答案即可）． 朝陽 22. 根據(jù)對(duì)北京市相關(guān)的市場(chǎng)物價(jià)調(diào)研，預(yù)計(jì)進(jìn)入夏季后的某一段時(shí)間，某批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)的 甲種蔬菜的銷售利潤(rùn) y1（千元）與進(jìn)貨量 x（噸）之間的函數(shù) kxy?1 的圖象如圖①所示，乙種蔬菜的銷售利潤(rùn) y2（千元）與進(jìn)貨量 x（噸）之間的函數(shù) bxaxy ?? 22 的圖象如圖②所示 . （ 1）分別求出 y y2與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）如果該市場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共 10 噸，設(shè)乙種蔬菜的進(jìn)貨量為 t 噸，寫出這兩種蔬菜所獲得的銷售利潤(rùn)之和 W（千元）與 t（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出這兩種蔬菜各進(jìn)多少噸時(shí)獲得的銷售利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是多少？ 圖① 圖② O x xy（ 萬元 ）（ 噸 ）53Oy（ 千元 ） y （ 萬元 ）（ 噸 ）Oy（ 千元 ） ECO DAB切線判斷與計(jì)算 西城 21．如圖， AC 為 ⊙ O 的直徑， AC=4， B、 D 分別在 AC 兩側(cè)的圓上， ∠ BAD=60176。點(diǎn) P 為射線 BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn) P 與點(diǎn) B不重合），分別以 AB、AP 為邊在 ∠ ABC 的內(nèi)部 作等邊△ ABE 和 △ APQ,連結(jié) QE 并延長(zhǎng)交 BP 于點(diǎn) F. （ 1） 如圖 1， 若 AB= 32 ， 點(diǎn) A、 E、 P恰好在一條直線上時(shí)， 求 此時(shí) EF 的長(zhǎng) （直接寫出結(jié)果） ； （ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) P 為射線 BC 上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想 EF 與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段）， 并加以證明； （ 3） 若 AB= 32 ，設(shè) BP=x ， 以 QF 為 邊的等邊三角形的面積 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式． 朝陽 25. 在矩形 ABCD中，點(diǎn) P 在 AD 上， AB=2， AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) P處，三角板的兩直角邊分別能與 AB、 BC 邊相交于點(diǎn) E、 F，連接 EF． （ 1）如 圖， 當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) B重合時(shí)，點(diǎn) F恰好與點(diǎn) C重合，求此時(shí) PC的長(zhǎng)； （ 2） 將三角板從 （ 1）中 的位置開始，繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) A 重合時(shí)停止，在這個(gè)過程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答 ： ① ∠ PEF 的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由； ② 直接寫出從開始到停止，線段 EF 的中點(diǎn) 所 經(jīng)過的路線長(zhǎng) ． B C A D A D B C P DC (F )AB (E ) FP DCABE 代數(shù)綜合 西城 23. 已知 關(guān)于 x 的 一元二次方程 2 10x px q? ? ? ? 的一 個(gè)實(shí)數(shù) 根為 2． (1) 用含 p 的代數(shù)式表示 q； (2) 求證：拋物線 2y x px q? ? ? 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)； (3) 設(shè)拋物線 21y x px q? ? ? 的頂點(diǎn)為 M，與 y 軸的交點(diǎn)為 E，拋物線 22 1y x px q? ? ? ? 頂點(diǎn)為 N，與 y 軸的交點(diǎn)為 F，若四邊形 FEMN 的面積等于 2，求 p 的值 ． 石景山 23． 已知：關(guān)于 x 的方程 ? ? ? ? 01342 ????? mxmx 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ． （ 1）求 m 的取值范圍 ； （ 2）拋物線 C ： ? ? ? ?1342 ?????? mxmxy 與 x 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn)． 若 1?m 且直線 1l : 12 ??? xmy 經(jīng)過點(diǎn) A ,求拋物線 C 的函數(shù)解析式； （ 3）在（ 2）的條件下， 直線 1l : 12 ??? xmy 繞著點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)得到直線 2l ： bkxy ?? ，設(shè)直線 2l 與 y 軸交于點(diǎn) D ，與拋物線 C 交于點(diǎn) M（ M 不與點(diǎn) A 重合），當(dāng)23?ADMA時(shí)，求 k 的取值范圍． 平谷 23. 已知拋物線 2 2 3 ( 0 )y a x a x a a? ? ? ?. （ 1）求證：拋物線 2 2 3 ( 0 )y a x a x a a? ? ? ?一定與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； （ 2）設(shè)（ 1）中的拋物線與 x 軸交于 AB、 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C ，點(diǎn) D 為拋物線的頂點(diǎn)． ① 求 點(diǎn) AB、 的坐標(biāo)； ② 過點(diǎn) D 作 DH y⊥ 軸于點(diǎn) H ，若 DH HC? ，求 a 的值和直線 CD 的解析式 . 解：（ 1）證明： （ 2） 門頭溝 23. 已 知 ： 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程02)21( 22 ????? kxkx 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）當(dāng) k 為負(fù)整數(shù)時(shí)，拋物線 2)21( 22 ????? kxkxy 與 x 軸的交點(diǎn)是整數(shù)點(diǎn)，求拋物線的解析式； （ 3）若（ 2）中的拋物線與 y 軸交于點(diǎn) A，過 A 作 x 軸的平行 線與拋物線交于點(diǎn) B，連接 OB，將拋物線向上平移 n 個(gè)單位， 使平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)落在△ OAB 的內(nèi)部（不包括 △ OAB 的邊界），求 n 的取值范圍 . 豐臺(tái) 23．已知： 關(guān)于 x的一元二次方程： 222 4 0x m x m? ? ? ?. （ 1）求證： 這個(gè)方程 有兩個(gè) 不相等的實(shí)數(shù)根 ； （ 2） 當(dāng) 拋物線 2224y x m x m? ? ? ?與 x 軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn) 的 兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等時(shí)， 求 此拋物線 的解析式； （ 3） 將 （ 2）中的 拋物線在 x軸下方的部分沿 x軸 翻折，其余部分保持能夠不變，得到圖形C1,將圖形 C1向右平移一個(gè)單位 ,得到圖形 C2， 當(dāng)直線 y=xb? (b0)與 圖形 C2恰 有 兩 個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， 寫出 b 的取值范圍 . 房山 23． 已知：關(guān)于 x 的方 程 ? ? 0322 ????? kxkx ⑴ 求證：方程 ? ? 0322 ????? kxkx 總有實(shí)數(shù) 根 ； ⑵ 若方程 ? ? 0322 ????? kxkx 有一根大于 5 且小于 7，求 k 的整數(shù) 值 ； ⑶ 在 ⑵ 的條件下，對(duì)于一次函數(shù) bxy ??1 和二次函數(shù) 2y = ? ? 322 ???? kxkx ，當(dāng) 71 ??? x 時(shí)，有 21 yy? ，求 b 的取值范 圍 ． 證明：⑴ 解：⑵ ⑶ 昌平 23． 已知關(guān)于 x 的方程（ k+1） x2+(3k1)x+2k2=0． （ 1） 討論 此方程根 的情況 ； （ 2）若方程 有 兩 個(gè) 整數(shù)根，求正整數(shù) k 的值； （ 3） 若拋物線 y=（ k+1） x2+(3k1)x+2k2 與 x 軸 的 兩 個(gè) 交點(diǎn) 之間 的距離為 3，求 k 的值 ． 順義 23． 已知關(guān)于 x 的方程 032)1( 2 ????? kkxxk ． （ 1） 若 方程有 兩個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根 ，求 k 的 取 值范圍 ； 4 3 2 1 4 3 2 143214321O xy 1412108642246810121420 15 10 5 5 10 15 20xyO（ 2）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求 關(guān)于 y 的方程 2 ( 4 ) 1 0y a k y a? ? ? ? ?的整數(shù)根（ a 為正整數(shù)）． 海淀 23．已知關(guān)于 x 的方程 03)13(2 ???? xmmx . （ 1）求證 : 不論 m 為任何實(shí)數(shù) , 此方程總有實(shí)數(shù)根； （ 2）若拋物線 ? ?2 3 1 3y m x m x? ? ? ?與 x 軸交于兩個(gè)不同的整數(shù)點(diǎn)，且 m 為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式； （ 3） 若 點(diǎn) P ),( 11 yx 與 Q ),( 21 ynx ? 在（ 2）中拋物線上 (點(diǎn) P、 Q 不重合 ), 且 y1=y2, 求代 數(shù)式 8165124 2121 ???? nnnxx 的值 . 延慶 23. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，二次函數(shù) y1=mx2（ 2m+3） x+m+3與 x軸交于點(diǎn) A、點(diǎn) B(點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè) )，與 y 軸交于點(diǎn) C（其中 m0）。NAB CD 順義 25． 問題： 如圖 1， 在 Rt△ ABC 中， 90C? ? ? ， 30ABC? ? ? ， 點(diǎn) D 是 射線 CB 上任意一點(diǎn)，△ ADE 是等邊三角形， 且點(diǎn) D 在 ACB? 的內(nèi)部， 連接 BE．探究線段 BE 與DE 之間的數(shù)量關(guān)系． 請(qǐng)你完成下列探究過程： 先將圖形特殊化，得出猜想，再對(duì)一般情況進(jìn)行分析并加以證明 . （ 1） 當(dāng) 點(diǎn) D與點(diǎn) C 重合時(shí)（如圖 2），請(qǐng)你補(bǔ) 圖 1DEBCA 全圖形．由 BAC? 的度數(shù)為 ， 點(diǎn) E 落在 ，容易得出 BE與 DE 之間的數(shù)量關(guān)系為 ； （ 2） 當(dāng) 點(diǎn) D在如圖 3 的位置 時(shí)， 請(qǐng) 你 畫出圖形，研究 線段 BE 與 DE之間的數(shù)量關(guān)系是否 與（ 1）中的結(jié)論相同 ，寫出你的猜想 并加以證明 ． DBCAABC ( D )圖 3圖 2 海淀 24． 在 □ ABCD 中， ∠ A =∠ DBC, 過點(diǎn) D 作 DE=DF, 且 ∠ EDF=∠ ABD , 連接 EF、 EC, N、 P 分別為 EC、 BC 的中點(diǎn)，連接 NP． （ 1） 如圖 1，若點(diǎn) E 在 DP 上 , EF 與 DC 交于點(diǎn) M, 試探究線段 NP 與線段 NM 的數(shù)量 關(guān)系及 ∠ ABD 與 ∠ MNP 滿足的等量關(guān)系， 請(qǐng)直接寫出 你的結(jié)論； （ 2）如圖 2，若 點(diǎn) M 在 線段 EF 上 , 當(dāng)點(diǎn) M 在何位置 時(shí)，你在（ 1）中得到的結(jié)論仍然 成立， 寫出你確 定的點(diǎn) M 的位置，并證明（ 1）中的結(jié)論 . 圖 1 圖 2 延慶 1， 已知：已知： 等邊△ ABC，點(diǎn) D 是邊 BC 上一點(diǎn) （點(diǎn) D 不與 點(diǎn) B、 點(diǎn) C重合）， 求 證： BD+DC AD