【正文】 ∴ ? ?21t+ t 2 2 t2? ? ?，解得 12t = 2 2 t =2? ， （舍去）。 ∴ OT=－ t， ? ? 21N T 2 N H = 2 2 t P T = t + t2? ? ?。 ∴△ MOT， △ NHT 都是等腰直角三角形。 ∴ NQ=MQ。 ∴ N（ 2 t 2 2t?? ， ）。 ∴ P（ 0， 21t2? ）。 ∴ 212 m= t2? ? ? 。 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ t,0），拋物線 C2 的解析式為 21y= x 2 m2 ??。 解得 1 2 3a = 2 a = 2 + 2 2 a = 2 2 2?， 。 ∵ 直線 x＝ a 交直線 AB 于點(diǎn) F，交拋物線 C1 于點(diǎn) G， ∴ 2F 1y = 2 a 2 y = a 22G??。 （ 2） ∵ 直線 x＝ 3 交直線 AB 于點(diǎn) D，交拋物線 C1 于點(diǎn) E， ∴DE5y =4 y = 2， ∴ DE=DE 53y y =4 22? ? ?。 ∵ 點(diǎn) C 是直線 AB 與拋物線 C1的交點(diǎn)， ∴2y=2x 21y= x 22???? ???，解得 12x =4 x =0y =6 y = 2??????? ，（舍 去）。 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+b ，則 b= 2k+b=0????，解得 k=2b=2?? ??。 11. （ 2020 湖北武漢 12 分） 如圖 1，點(diǎn) A 為拋物線 C1： 21y= x 22 ? 的頂點(diǎn)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (1， 0)， 直線 AB 交拋物線 C1 于另一點(diǎn) C． (1)求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； (2)如圖 1，平行于 y 軸的直 線 x＝ 3 交直線 AB 于點(diǎn) D，交拋物線 C1于點(diǎn) E，平行于 y 軸的直線 x 17 ＝ a 交直線 AB 于 F，交拋物線 C1于 G，若 FG： DE＝ 4∶ 3，求 a 的值； (3)如圖 2，將拋物線 C1向下平移 m(m＞ 0)個(gè)單位得到拋物線 C2，且拋物線 C2 的頂點(diǎn)為點(diǎn) P，交 x軸 于點(diǎn) M，交射線 BC 于點(diǎn) N， NQ⊥ x 軸于點(diǎn) Q，當(dāng) NP 平分 ∠ MNQ 時(shí)，求 m 的值． 圖 1 圖 2 【答案】 解：（ 1） ∵ 當(dāng) x=0 時(shí)， y＝－ 2。 （ 2）分兩種情況進(jìn)行討論， ① 當(dāng) AE為一邊時(shí)， AE∥ PD， ② 當(dāng) AE為對(duì)角線時(shí)， 根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，求解點(diǎn) P 坐標(biāo)。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 此時(shí) a=﹣ 13 ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 9 3 1313 2??? ， ）。 ∴ OQ′=3， 22C Q = C Q = 3 + 2 = 1 339。， 即 21 3 a a a 22= 2 FQ39。39。 ∴△ COQ′∽ △ Q′FP。 ∠ CQ′O+∠ OCQ′=90176。 ② 當(dāng) P 點(diǎn)在 y 軸左側(cè)時(shí)（如圖 2）此時(shí) a＜ 0， 213a a 222? ? ? ＜ 0， CQ=﹣ a， PQ= 221 3 1 32 a a 2 = a a2 2 2 2??? ? ? ? ?????。 。? ， 解得 F Q′=a﹣ 3 16 ∴ OQ′=OF﹣ F Q′=a﹣ （ a﹣ 3） =3， 2 2 2 2C Q = C Q = C O + O Q = 3 + 2 = 1 339。39。 ∴∠ FQ′P=∠ OCQ′， ∴△ COQ′∽ △ Q′FP， ∴ QC QP =CO FQ39。 又 ∵∠ CQ′O+∠ FQ′P=90176。 （ 3）存在滿足條件的點(diǎn) P，顯然點(diǎn) P 在直線 CD 下方。 ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 3+ 412 ，﹣ 2），（ 3 412? ，﹣ 2） 。 ② 當(dāng) AE 為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，可知 P 點(diǎn)、D 點(diǎn)到直線 AE（即 x 軸）的距離相等， ∴ P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣ 2。 ∴ 點(diǎn) D 坐標(biāo)為（ 3， 2）。 ∴ 拋物線解析式為 213y x x 222? ? ? ?。 （ 3）利用 △ DEF 的面積等于 △ ABC的面積的 14 ，求出 DH的長(zhǎng)，從而利用 S△ DEF的值求出 EF即可。 ∴△ ADE∽△ DCE。 ∠ B=∠ MDN， ∴∠ BAD=∠ EDC。 ∵∠ MDN=∠ C=∠ B， ∠ B+∠ BAD=90176。 又 ∵∠ MDN=∠ B， ∴△ ADE∽ ABD。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。EFEF ∴ DH=DG=245 。 ∵ DH⊥ BF， DG⊥ EF， ∴∠ DHF=∠ DGF。 14 又 ∵ 12 ?AD?BD=12 ?AB?DH， ∴ A D B D 8 6 2 4DH A B 1 0 5??? ? ?。 在 Rt△ ABD 中， AD2=AB2﹣ BD2，即 AD2=102﹣ 62， ∴ AD=8。 ∴△ BDF∽△ CED∽△ DEF。 ∵ BD=CD， ∴ CD DF=CE ED ，即 CD CE=DF ED 。 ∴△ BDF∽△ CED。 又 ∵∠ EDF=∠ B， ∴∠ BFD=∠ CDE。 （ 2） △ BDF∽△ CED∽△ DEF，證明如下： ∵∠ B+∠ BDF+∠ BFD=180176。在 Rt△ EFO 中求 出 FO，從而可得出 FG 的長(zhǎng)度。 （ 2）連接 ON，則 ON⊥ BC，從而判斷出 ON 是梯形 ABCE 的中位線，從而可得出結(jié)論。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義 ，特殊角的三角函數(shù)值 。 ∴ 23OF 3? 。 在 Rt△ ADE 中， AD=2， AE=4， ∴∠ AED=30176。 （ 3） ∵ OE、 ON 均是 △ AED 的外接圓的半徑， ∴ OE=OA=ON=2。 ∵ 點(diǎn) O 是 AE 的中點(diǎn)， ∴ ON 是梯形 ABCE 的中位線。 又 ∵ AG=GE， ∴ 四邊形 AGEF 是菱形。 ∴ EF=EG=AG。 8. （ 2020 廣西南寧 10 分） 如圖，已知矩形紙片 ABCD， AD=2， AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn) A 與邊CD 上的點(diǎn) E 重合，折痕 FG 分別與 AB， CD 交于點(diǎn) G， F， AE 與 FG 交于點(diǎn) O． （ 1）如圖 1，求證： A， G， E， F 四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形； （ 2）如圖 2，當(dāng) △ AED 的外接圓與 BC 相切于點(diǎn) N 時(shí)，求證：點(diǎn) N 是線段 BC 的中點(diǎn)； （ 3）如圖 2，在（ 2）的條件下，求折痕 FG 的長(zhǎng)． 12 【答案】 解：（ 1）由折疊的性質(zhì)可得， GA=GE， ∠ AGF=∠ EGF， ∵ DC∥ AB， ∴∠ EFG=∠ AGF。在 Rt△ PCD 中，利用 30176。再加上 OP=OC，可得出 △ POC 為等邊三角形，得到內(nèi)角 ∠ OCP=60176。再由 OB=OC，得到△ OBC為等邊三角形，可得出 ∠ COB 為 60176。得到 ∠ AOP=60176。 （ 2）（ 1）中的結(jié)論成立，理由為：由折疊可知三角形 APO 與三角形 CPO 全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出 ∠ APO=∠ CPO，再由 OA=OP，利用等邊對(duì)等角得到 ∠ A=∠ APO，等量代換可得出 ∠ A=∠ CPO，又根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到 ∠ A=∠ PCB，再等量代換可得出 ∠ COP=∠ ACB，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可得出 PO 與 BC 平行。 【考 點(diǎn)】 折疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三 11 角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)。 ∴∠ PCD=30176。 PC=OP=OC。 又 ∵ OP=OC， ∴△ POC 也為等邊三角形。 ∴∠ POC=180176。 又 ∵ OC=OB， ∴△ BC 為等邊三角形。 ∴∠ AOP=60176。 ∴∠ A=∠ APO=∠ AOP。 由折疊可得： ∠ AOP=∠ COP， ∴∠ APO=∠ AOP。 又 ∵ AD⊥ CD， ∴ OC∥ AD。 ∴ PO∥ BC。 又 ∵∠ A 與 ∠ PCB 都為 PB 所對(duì)的圓周角， ∴∠ A=∠ PCB。 又 ∵ OA=OP， ∴∠ A=∠ APO。 （ 2）（ 1）中的結(jié)論 PO∥ BC 成立。 （ 3）由 △ AEF 是 △ DEF翻折而成可知 EF垂直平分 AD，故 HD=12 AD=4，再根據(jù) tan∠ ABG 的值即可得出 EH 的長(zhǎng)，同理可得 HF 是 △ ABD 的中位線，故可得出 HF 的長(zhǎng)，由 EF=EH+HF 即可得出結(jié)果。 C′D=AB=CD， ∠ AGB=∠ DGC′，故可得出結(jié)論。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。 ∴ HF=12 AB=12 6=3。 ∴ EH=HD724 =477=24 6 。 ∴ HD=12 AD=4。 9 ∴ 7A G 74ta n A B G A B 6 2 4? ? ? ?。 （ 2）解： ∵ 由（ 1）可知 △ ABG≌△ C′DG， ∴ GD=GB， ∴ AG+GB=AD。 C′D=AB=CD， ∠ AGB=∠ DGC′， ∴∠ ABG=∠ ADE。 （ 3）由 △ AEF 是 △ DEF翻折而成可知 EF垂直平分 AD，故 HD=12 AD=4，再根據(jù) tan∠ ABG 的值即可得出 EH 的長(zhǎng)，同理可得 HF 是 △ ABD 的中位線，故可得出 HF 的長(zhǎng)，由 EF=EH+HF 即可得出結(jié)果。 C′D=AB=CD， ∠ AGB=∠ DGC′，故可得出結(jié)論。 8 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。 ∴ HF=12 AB=12 6=3。 ∴ EH=HD724 =477=24 6 。 ∴ HD=12 AD=4。 ∴ 7A G 74ta n A B G A B 6 2 4? ? ? ?。 （ 2）解： ∵ 由（ 1）可知 △ ABG≌△ C′DG， ∴ GD=GB， ∴ AG+GB=AD。 C′D=AB=CD， ∠ AGB=∠ DGC′， ∴∠ ABG=∠ ADE。 （ 3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)用 m 表示出 D點(diǎn)坐標(biāo)，把 D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式看是否符合即可。 【分析】 （ 1）先根據(jù)四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0），求出點(diǎn) A、 C 的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出 A′、 C′的坐標(biāo)即可。 ∴ 點(diǎn) D 不在（ 2）中的拋物線上。 ∴ 此拋物線的解析式為： y=－ x2＋（ m－ 1） x＋ m。而成， ∴ A′（ 0， m）， C′（－ 1， 0）。得到矩形 OA′B′C′． （ 1）寫出點(diǎn) A、 A′、 C′的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)過(guò)點(diǎn) A、 A′、 C′的拋物線解析式為 y=ax2+bx+c，求此拋物線的解析式；（ a、 b、 c 可用含 m 的式 6 子表示） （ 3）試探究：當(dāng) m的值改變時(shí)，點(diǎn) B 關(guān)于點(diǎn) O 的對(duì)稱點(diǎn) D是否可能落在（ 2）中的拋物線上？若能，求出此時(shí) m 的值． 【答案】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ m， 1）（ m＞ 0）， ∴ A（ m， 0）， C（ 0， 1）。 ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 11 133? ， 6）或（ 11+133 ， 6）。 將 21 11m t t 666? ? ?代入，并化簡(jiǎn)，得 23t 22 t 36=0?? 。 ∴ 6 11 t 6 m36 12m ?? ??。 ∴ PE PCAC CQ????。 ∴∠ EPC′=∠ QC′A。 ∴∠ PC′E+∠ EPC′=90176。 （ Ⅱ ）由 △ OB′P、 △ QC′P 分別是由 △ OBP、 △ QCP 折疊得到的， 可知 △ OB′P≌△ OBP， △ QC′P≌△ QCP，易證得 △ OBP∽△ PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案。 OB=6，在 Rt△ OBP 中，由 ∠ BOP=30176。 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。 ∴ 21 11m t t 666? ? ?（ 0＜ t＜ 11）。 ∴ OB BPPC CQ?。 又 ∵∠ OBP=∠ C=90176。 ∵∠ BOP+∠ OPB=90176。 ∵∠ OPB′+∠ OPB+∠ QPC′+∠ QPC=180176。