【正文】 ∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵AB＝AF，∴四邊形ABDF是菱形．(2)解：如圖2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90176?！鄐in∠ABC=，在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45176。在Rt△CEF中，sin∠FEC=，∴，∵∠FCE=∠ACB=45176。點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關系為　 ?。?）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當正方形CDEF旋轉到B，E，F(xiàn)三點共線時候，直接寫出線段AF的長．【答案】（1）BE=AF；（2）無變化；（3）AF的長為﹣1或+1．【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出結論；（2）先利用三角函數(shù)得出，同理得出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．試題解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，根據(jù)勾股定理得，BC=AB=2，點D為BC的中點，∴AD=BC=，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，∵BE=AB=2，∴BE=AF，故答案為BE=AF；（2）無變化；如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45176。AB＝AD∴△BAG≌△ADN（AAS）∴AG＝DN， 又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD，即點E是CD的中點．（3）延長AE，BC交于點P，由（2）知DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90176?！唷?+∠2＝90176。AD是邊BC上的中線.∴AD=CD ∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形.【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、.3．如圖（1）在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G交AD于F（1）求證：AF＝DE；（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖（2），求證：點E是CD中點；（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖（3），求證：CG＝CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CG＝CD，見解析．【解析】【分析】（1）證明△BAF≌△ADE（ASA）即可解決問題．（2）過點D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點M，N．想辦法證明AF＝DF，即可解決問題．（3）延長AE，BC交于點P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜邊中線的性質，只要證明BC＝CP即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，∴∠2+∠3＝90176。(Ⅱ)當O,P,F點共線時OP的長度最短.【詳解】解：（I）①∵折痕為EF,點P為點D的對應點∵四邊形OBCD是矩形，點F的坐標為②∵折痕為EF，點P為點D的對應點.∵四邊形OBCD是矩形，；∴四邊形DEPF是平行四邊形.，是菱形. 設菱形的邊長為x，則，在中，由勾股定理得 解得 ∴點F的坐標為 （Ⅱ）【點睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，關鍵是根據(jù)折疊的性質進行解答，屬于中考壓軸題．2．如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點O、點E，連接EC．（1）求證：AD=EC；（2）當∠BAC=Rt∠時，求證：四邊形ADCE是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形即可；（2）由∠BAC=90176。 【答案】（I）①點F的坐標為；②點F的坐標為；（II）【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質可得,再由矩形的性質，即可求出F的坐標。20202021初三數(shù)學一模試題分類匯編——平行四邊形綜合含答案一、平行四邊形1．已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點C在第一象限，折痕為EF（點E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點），點P為點D的對應點，再將紙片還原。（I）若點P落在矩形OBCD的邊OB上，①如圖①，當點E與點O重合時，求點F的坐標；②如圖②，當點E在OB上，點F在DC上時，EF與DP交于點G，若，求點F的坐標：（Ⅱ）若點P落在矩形OBCD的內部，且點E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當OP取最小值時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）。②由折疊的性質及矩形的特點，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出 是菱形，設菱形的邊長為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解。AD是邊BC上的中線，得AD=BD=CD，即可證明.【詳解】(1)證明：∵AE∥BC，DE∥AB ，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE=BD，∵AD是邊BC上的中線，∴BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形.(2) 證明：∵∠BAC=90176。又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90176。∴∠1＝∠3在△BAF與△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）證明：過點D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90176。∠DEA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝BP＝BC，∴CG＝CD．【點睛】