【正文】 AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問題2：（1）設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當(dāng)QP⊥AB時(shí)，PQ最小，此時(shí)=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng) AB時(shí)，的長(zhǎng)最小，PQ的最小值為．．試題解析：?jiǎn)栴}1：（1）3，；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．由題意可知當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最短．所以此時(shí)四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因?yàn)椤螧CA=90176。在△EFM和△BPA中，∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP．設(shè)AP=x在Rt△APE中，（4BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BEEM=2+x，∴BE+CF=x+4=（x2）2+3．當(dāng)x=2時(shí)，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．15．（本題14分）小明在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)知識(shí)時(shí)總結(jié)了如下結(jié)論：端點(diǎn)分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應(yīng)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行了下列探索活動(dòng)和問題解決．問題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。BH=BH，在△BCH和△BQH中，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周長(zhǎng)是定值．（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．又∵EF為折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176?！唷螮PH∠EPB=∠EBC∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。∴∠ECB=∠PEG，∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90176?！郉F=∴a＞點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．12．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），CE與BD相交于點(diǎn)F，設(shè)線段BE的長(zhǎng)度為x．（1）如圖1，當(dāng)AD=2OF時(shí)，求出x的值；（2）如圖2，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。=，∴a=，∴0＜b≤=；②如圖當(dāng)DF與DC重合時(shí)，DF=DE=6，∴a=sin60176。∴∠NQJ=30176。∴∠HIM=∠JIN=15176。∵△MNJ是等邊三角形∴MI=NI在Rt△MHI和Rt△JNI中 ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）∴HI=IJ②在線段IJ上取點(diǎn)Q，使IQ=NQ∵Rt△IHM≌Rt△IJN，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90176。繼而可得∠NQJ=30176。至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45176。【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45176。F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45176。連接EF、則EF=BE+DF，試說明理由；(2)類比引申如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90176。∵PH=PB，∴△PBH是等邊三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大時(shí)，△APB的周長(zhǎng)最大，∴當(dāng)PK是△ABK外接圓的直徑時(shí)，PK的值最大，最大值為4，∴△PAB的周長(zhǎng)最大值=2+4．8．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,點(diǎn)E.∴∠AKB+∠APB=180176?！唷螦PB=120176。∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90176。作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90176?！唷螦PB=90176?！連M=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90176。．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)．連接AM和BN，交于點(diǎn)P．求△APB周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）AM⊥BN，證明見解析；（2）△APB周長(zhǎng)的最大值4+4；（3）△PAB的周長(zhǎng)最大值=2+4．【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定SAS證明△ABM≌△BCN，即可證得AM⊥BN；（2）如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90176?！螰CA=45176?！螰CA=45176。∠DCA+∠AEC＝90176?！唷螰CB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在Rt△BCF中，CF=，BC=2，根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)候，線段AF的長(zhǎng)為﹣1或+1．5．△ABC為等邊三角形，．．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若是的角平分線，連接，找出圖中所有的等腰三角形．【答案】(1)證明見解析；(2)圖中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求證BD∥AF，證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分線段AC，進(jìn)而證明△DAC是等腰三角形，根據(jù)BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之間的關(guān)系,證明△DAE是等腰三角形，進(jìn)而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解題,見詳解.【詳解】(1)如圖1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，