【正文】 ∵AM⊥BC，∴△AMB為等腰直角三角形，∴AM=AB=4=2，∵以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45176。則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45176。時(shí)，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90176?！唷螾AG=∠APG=45176。①當(dāng)∠PAE=90176?！嘀荒苡小螾AE=90176。時(shí)，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當(dāng)∠APE=90176。或∠APE=90176?！唷螰PN＝∠NFB，∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90176。得到線段FP，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，PH交拋物線于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E（a，0）．（1）求拋物線的解析式．（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．（3）當(dāng)PH＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．【解析】【詳解】（1）點(diǎn)C（0，4），則c＝4，二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝＝，△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，則或，解得：a＝或；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點(diǎn)B（4，0）；分別延長(zhǎng)CF、HP交于點(diǎn)N，∵∠PFN+∠BFN＝90176。（3）將依題意，作的正方形AmBmCmDm邊長(zhǎng)為m，點(diǎn)Dm坐標(biāo)為（2 m，m），將（2 m，m）代入拋物線求出m，n的關(guān)系，即可求解。（2）根據(jù)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)即可用含k的代數(shù)式表示b。（1）當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，有，即?！適，n為正整數(shù)，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。（3）由（2）知，頂點(diǎn)在直線上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12）的拋物線為：，即。（2）∵過(guò)原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線上，∴。（1）對(duì)于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a= ；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，a 與m之間的關(guān)系式是 ；（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過(guò)原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；（3）現(xiàn)有一組過(guò)原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A1，A2，…，An在直線上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，B3，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dn，求所有滿足條件的正方形邊長(zhǎng)。（1）求函數(shù)y=x+2的圖像上所有“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖像上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)；（3）若二次函數(shù)y=（k為常數(shù)）的圖像與x軸相交得到兩個(gè)不同的“中國(guó)結(jié)”，試問(wèn)該函數(shù)的圖像與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個(gè)“中國(guó)結(jié)”？【答案】（1）（0,2）；（2）當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)應(yīng)“中國(guó)結(jié)”為（1,1）（－1，－1）；當(dāng)k=－1時(shí)，對(duì)應(yīng)“中國(guó)結(jié)”為（1，－1），（－1,1）；（3）6個(gè).【解析】試題分析：（1）因?yàn)閤是整數(shù)，x≠0時(shí)，x是一個(gè)無(wú)理數(shù)，所以x≠0時(shí)，x+2不是整數(shù)，所以x=0，y=2，據(jù)此求出函數(shù)y=x+2的圖象上所有“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)即可．（2）首先判斷出當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（1，1）、（﹣﹣1）；然后判斷出當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個(gè)“中國(guó)結(jié)”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出xx2的值是多少；然后根據(jù)xx2的值是整數(shù)，求出k的值是多少；最后根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)之為“中國(guó)結(jié)”，判斷出該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個(gè)“中國(guó)結(jié)”即可．試題解析：（1）∵x是整數(shù)，x≠0時(shí)，x是一個(gè)無(wú)理數(shù)，∴x≠0時(shí)，x+2不是整數(shù)，∴x=0，y=2，即函數(shù)y=x+2的圖象上“中國(guó)結(jié)”的坐標(biāo)是（0，2）．（2）①當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（1，1）、（﹣﹣1）；②當(dāng)k=﹣1時(shí)，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個(gè)“中國(guó)結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1，1）．③當(dāng)k≠177?！唷螪PM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時(shí)，P(1，﹣2)，此時(shí)m的值1，∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱(chēng)軸于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90176。時(shí)，在Rt△OCE中，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣，∴45176。求a的取值范圍；（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設(shè)P（m，n），直接寫(xiě)出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．理由見(jiàn)解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題；(2)利用參數(shù)a，求出直線CD的解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可判斷；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱(chēng)軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.【詳解】解：(1)當(dāng)a=﹣1時(shí)，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，∴頂點(diǎn)D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直線CD的解析式為y=ax﹣3a，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．(3)當(dāng)β=45176。時(shí)，BD2+ DM2= BM2，即＋=，解得：，(舍去) ．綜上所述，或時(shí)，△BDM為直角三角形．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線DC與x軸相交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，OE等于多少；（2）OE的長(zhǎng)是否與a值有關(guān)，說(shuō)明你的理由；（3）設(shè)∠DEO=β，45176。兩種情況：當(dāng)∠BMD=90176。, ∴討論∠BMD=90176。時(shí)；②∠BDM=90176。時(shí)，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， ∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）當(dāng)∠BAM=90176。OC=2OB，tan∠AB